2014-02-02
4458
При всем многообразии внешних нагрузок, их можно разделить на два вида по признаку их связи с сооружением. Нагрузки делятся на неподвижные и подвижные. Неподвижные нагрузки, как правило, носят статический характер как по величине и направлению, так и по своему положению на сооружении. Однажды появившись медленно при скорости деформации меньше чем 0,01 мин-1, эти нагрузки, в дальнейшем, имеют стационарное значение (рис.1).
F
1
t
Рис.1
Чтобы подчеркнуть статический характер нагрузки, будем обозначать ее.
Подвижные нагрузки не изменяют своего значения во времени, постоянны по направлению, но изменяют свое положение на сооружении (рис.2).
Рис.2
Происхождение их связано с наличием подвижного состава: автомобилей и поездов на мостах, кранов на подкрановых балках, и др.
Чтобы оценить прочность отдельных элементов сооружений, таких, как балки, колонны и т.п., испытывающих действие неподвижных нагрузок, строят эпюры внутренних усилий: продольных и поперечных сил, изгибающих и крутящих моментов. Например, балка разбивается на грузовые участки и в каждом из них вводится текущее сечение, изменяющее свое положение.
|
|
|
Эпюрой называется график, показывающий, как изменяется исследуемый фактор при неподвижной нагрузке в зависимости от наложения сечения.
| - |
| + |
| 1 z1 2 z2 a b |
A O1 O2 B
RA RB
| Эпюра Q |
| + |
| Эпюра М |
Анализируя эпюры, находят потенциально опасные сечения с неблагоприятным сочетанием силовых факторов. Для изображенной балки это сечение под силой F при z1=a; z2=b:
Мы видим, что расчетные усилия Qmax и Mmax зависят от положения силы на балке, т.е. от a и b =(l-a). Если изменить положение силы на балке, то изменяется и значение эпюр.
Чтобы определить наиболее невыгодное положение нагрузки, при котором возникают наибольшие значения опорных реакций или внутренних усилий в сечении, строят линии влияния.
Линия влияния – это график, показывающий как изменяется исследуемый фактор в фиксированном сечении в зависимости от положения подвижной нагрузки на сооружении.
Таким образом, эпюра и линия влияния – это взаимно противоположные понятия.
I
A M B
RA =const c=const RB
z=var
Например, необходимо получить зависимость
;
Где - расстояние от опоры А до точки приложения нагрузок.
Из трех видов нагрузок M, P, q основной считается сосредоточенная сила Р, т.к. распределенная нагрузка q – это несчетное множество сосредоточенных сил, приложенных к линии, а момент М возникает от пары сосредоточенных сил.
P
q M=Ph
h P
С
С целью дальнейшего упрощения мы воспользуемся принципом суперпозиции: результат действия системы сил равен сумме результатов действий каждой силы в отдельности, т.е.
|
|
|
Кроме того, введем понятие о единичной силе:
, где Р – значение силы, например, Р=12кН; n – численное значение силы, n=12; - единицы силы; - (черта) – отличительный признак единичной силы.
Из последней формулы получаем:
Мы видим, что единичная сила безразмерна.
Исследуемый фактор от силы Р можно найти как
Линии влияния строятся от единичной силы
Отметим принципиальные отличия линии влияния от эпюры:
1. Эпюры строятся от любых нагрузок, а линии влияния от единичной силы;
2. При построении эпюр нагрузка занимает неизменное положение, а при построении линий влияния нагрузка движется по сооружению;
3. При построении эпюр сечения движутся по сооружению, а при построении линии влияния сечение занимает неизменное положение.
Общим для эпюр и линий влияния является то, что оба графика строятся с использованием метода сечений, в котором рассматривается равновесие какой-либо части сооружения.
Рассмотрим простую двухопорную балку, нагруженную единичной силой, расположенной на расстоянии z от левой опоры. От этой силы возникают опорные реакции RA и RB. Построим линию влияния реакции RA.
Запишем уравнение равновесия балки.
Мы получили уравнение прямой, т.к. z в первой степени.
Когда сила расположена над опорой A z=0, RA=1.
Когда сила расположена над опорой B z=l, RA=0.
Чертим базисную линию, параллельную оси балки, и назначаем масштаб множества: в 1 см. – 1 (единица).
Откладываем над точкой А 1 см., над точкой B 0 см. и соединяем прямой. Выделяем ординату под силой и штрихуем перпендикулярно базисной линии.
Аналогично строится линия влияния опорной реакции RB:
– прямая; при z=0 RB=0; при z=l RB=1.
При положении силы посередине балки RA=RB=1/2, что соответствует средней линии треугольников.
| RA z (l-z) RB l Линия влияния RA Л.в. RB |
A B
| + |
0
| + |
1
0 Отметим физический смысл ординат линии влияния: ордината линии влияния численно равна значению реакции в тот момент, когда единичная сила расположена над данной ординатой, т.е.. Используя это свойство, можно найти реакции от любого вида нагрузки.
h
| Линия влияния RA |
| aqк |
| aqH |
| C |
| Q |
| ap |
| ам Р2=+Р1 |
RA
| α |
1
(h ωq
Легче всего найти реакцию от силы Р. Так как, то по формуле (2)
,
т.е. необходимо силу умножить на ординату линии влияния, взятую под силой.
Распределенную нагрузку q, действующую на длине С, заменим равнодействующей Q=qC, приложенной на пересечении диагоналей. Тогда:
Т.е. необходимо интенсивность нагрузки умножить на площадь ωq линии влияния, расположенную под нагрузкой.
Момент M представим в виде пары сосредоточенных сил P1 и P2=-P1 с плечом пары h при условии, что P1h=M. Тогда получаем:
Т.е. необходимо значение момента умножить на тангенс угла α наклона линии влияния в месте приложения момента.
Момент будем считать положительным против хода часовой стрелки. Угол α будем считать положительным при повороте линии влияния до базисной линии против хода часовой стрелки.
| Р=10кН |
| a=1м b=1м с=2м |
М=20кН*м q=8кH/м
| Линия влияния RA |
| ω q |
| α |
1
Момент М и нагрузка q показаны положительными, а сила Р показана отрицательной.
Рассмотрим построение линий влияния поперечной силы и изгибающего момента для сечения I, находящегося на расстоянии a от левой опоры и b от правой опоры.
z
| I |
| Правая прямая |
| Левая прямая |
| Л.в. MI |
| Левая прямая |
| Правая прямая |
| Л.в. Qi |
| l |
| b |
| a |
| RB |
| RA |
1
1
a
b
Поперечная сила
Единичная сила может располагаться слева и справа от сечения I. Пусть сила слева от сечения. Тогда Qi=-RB. Умножаем линию влияния RB на (-1) и проецируем на нее сечение I. Получаем левую прямую.
|
|
|
Пусть сила справа от сечения. Тогда Qi=RA. Показываем линию влияния реакции RA и проецируем на нее сечение I. Получаем правую прямую.
Характерные ординаты находим из подобия треугольников:
- сумма ординат под сечением равна 1
Изгибающий момент
Сила слева от сечения I: MI=RBb; линия влияния MI=b (л.в. RB). Умножаем линию влияния RB на b и на полученную прямую проецируем сечение I. Получаем левую прямую.
Сила справа от сечения I: MI=RAa; аналогично строим правую прямую. Ординату вершины находим из подобия треугольников:
- левая и правая прямые пересекаются под сечением.
Рассмотрим простую консольную балку. Построим линии влияния поперечной силы и изгибающего момента для сечения I.
Единичная сила слева от сечения: рассмотрим левую отсеченную часть.
Единичная сила справа от сечения: Q=0; M=0 (из рассмотрения левой отсеченной части).
| z |
| a |
| Л.в. Q |
| 1 |
| Левая прямая Л.в. М 0 |
a Левая прямая
Рассмотрим шарнирную балку с консолями.
Линии влияния опорных реакций строятся аналогично простой балке с продолжением прямых на консолях.
Линии влияния Q и M для сечения I, рассмотренного в пролете, строятся как для простой балки, с продолжением на консолях.
Для линии влияния Q проводим 2 параллельных прямых, расстояние между которыми 1, через точки опирания. Проецируем сечение I на них и оставляем те части, которые включают в себя нуль-точки.
Для линии влияния М откладываем над опорными точками отрезки a – слева, b - справа. Соединяем с нуль-точками и оставляем те части, которые содержат нуль-точки.
Линии влияния Q, M для сечения К, расположенного на правой консоли, строим как для простой консольной балки.
Для Q: проводим прямую, параллельную базисной линии на расстоянии 1 и проецируем на нее сечение K (Q положительно при данном положении).
Для М: откладываем на конце линии отрезок С и соединяем с 0 в сечении.
| I |
| K |
| B c |
| A |
| RA |
| RB |
| l1 a b l2 |
| l |
| 1 Л. в. RA |
| 0 |
| Л. в. RB 1 |
| Л.в.QT |
| Правая прямая |
| 0 |
| 0 |
| 1 |
| Левая прямая |
|
|
|
| 0 |
| Л.в. MI |
| Левая прямая |
| a |
| 1 |
| b |
| Правая прямая |
| 1 |
| Л.в. Qk |
1
| Л.в. Mk |
| 0 |
С
