Понятие неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу: Дана функция . Требуется найти такую функцию , производная которой равна , т.е. .

Определение: Функция называется первообразной функции на интервале , если для любоговыполняется равенство или .

Пример. Найти первообразную от функции . Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .

Теорема. Еслифункция является первообразной для функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где С – постоянное число.

Функция является первообразной для . Действительно, .

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интеграломот функции и обозначается символом . Таким образом, по определению .

называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство «параллельных» кривых . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Если функция непрерывна на ,то для этой функции существует первообразная а следовательно, и неопределенный интеграл.

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).