Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой
, которая называется универсальной.
Действительно, ,
,
,
. Поэтому
,
где - рациональная функция от t.
Удобны следующие правила:
1. Если функция нечетна относительно
, т. е.
, то делается подстановка
;
2. Если функция нечетна относительно
, т. е.
, то делается подстановка
;
3. Если функция четна относительно
и
, т. е.
, то делается подстановка
. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид
.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение: Т.к. подынтегральная функция не меняется при перемене знака у , то применим подстановку
, тогда
.
.
Пример 2. Вычислить .
Решение: Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку , положим
. Тогда
.
2. Интегралы типа ,
.
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1. Подстановка , если
– целое положительное нечетное число, т.е.
.
Мы получили интеграл от рациональной функции.
2. Подстановка , если
– целое положительное нечетное число, т.е.
.
3. Если и
- целые неотрицательные четные числа (
), то подынтегральное выражение преобразуют с помощью следующих формул понижения степени:
.
4. Подстановка , если
- четное отрицательное целое число.
Пример 3. Вычислить .
Решение:
.
Пример 4. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку
. Тогда
.
Пример 5. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку
. Тогда
.
Пример 6. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, поэтому применим формулы понижения степени:
.
Пример 7. Вычислить .
Решение: Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Пример 8. Вычислить .
Решение: Понизим степень тангенса:
.