Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (Рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
1. Для кривой, заданной уравнением ,
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (13)
Пример 17. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .
Решение: Из условия задачи имеем . По формуле (13) получаем:
.
2. Для кривой, заданной параметрически уравнениями .
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме , где и - непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина l кривой АВ находится по формуле:
. (14)
Пример 18. Вычислить длину дуги кривой:
,
В данном случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (14).
;