Двух нормально распределенных генеральных

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

совокупностей (выборки независимые)

Задача проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий на практике возникает довольно часто. Например, при анализе стабильности производственного процесса до и после введения технических усовершенствований (сравнивается колеблемость в выпуске продукции); при изучении точности измерительных приборов, инструментов, машин; при изучении степени однородности двух совокупностей в отношении какого-либо признака, например стажа рабочих; при сравнении рисков, связанных с отклонением доходности акций от ожидаемого уровня и т.д.

Пусть даны две генеральные совокупности Х и Y, которые имеют нормальный закон распределения. Есть основание предположить, что их генеральные дисперсии равны, то есть выдвинуть нулевую гипотезу Н ₀: D (Х) = D (Y). Проверим эту гипотезу при заданном уровне значимости .

Для этого проведем независимые выборки из этих данных генеральных совокупностей с объемами, соответственно, равными n_x и n_y. По данным выборок находим оценки генеральных дисперсий - исправленные выборочные дисперсии , , которые будут несмещенными оценками, то есть и . Тогда нулевую гипотезу можно записать и так: Н ₀: = .

Практически же исправленные дисперсии, как правило, будут различаться. Наша задача выявить существенно (значимо) или несущественно (незначимо) это различие, так как:

1) если нулевая гипотеза справедлива, то есть D (Х) = D (Y), то различие исправленных дисперсий случайное (незначимо), например, за счет случайного отбора элементов выборок;

2) если нулевая гипотеза отвергнута, то различие исправленных дисперсий существенное (значимо), оно является следствием того, что генеральные дисперсии различны.

Итак, необходимо выявить значимость различия исправленных дисперсий. Воспользуемся случайной величиной .

Покажем, что случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора, если нормально распределенные признаки Х и Y имеют равные дисперсии. Примем для определенности, что является оценкой , а - оценкой .

Тогда .

Следовательно, если , то случайная величина F имеет распределение Фишера - Снедекора и степенями свободы. Здесь n ₁ - объем выборки, по которой рассчитана , n ₂ - соответственно, .

По выборочным данным находят . Далее нужно найти критическую точку F _крит и критическую область, которая строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Чаще всего выбирают конкурирующую гипотезу следующего вида:

Н ₁: D (Х) > D (Y).

Эта конкурирующая гипотеза определяет правостороннюю критическую область , которая строится, исходя из требования (F > F _крит (a, k₁, k₂))= (здесь F _крит (a, k₁, k₂) = F _{крит. пр} (a, k₁, k₂)).

Рис. 2

Критическую точку F _крит(a, k ₁, k ₂) можно найти по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (см. прил. 6). Далее сравниваем наблюдаемое и критическое значение критерия и делаем вывод.

При формулировке вывода руководствуются следующим правилом: если наблюдаемое значение критерия F _набл попало в область принятия гипотезы (F _набл < F _крит(a, k ₁, k ₂)) (рис. 2), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), и расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное; если же наблюдаемое значение критерия F _набл попало в критическую область (F _набл > F _крит(a, k ₁, k ₂)), то нулевая гипотеза отвергается, а принимается конкурирующая гипотеза D (Х) > D (Y), то есть расхождение между исправленными выборочными дисперсиями значимо.

Замечание. При проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий при заданном уровне значимости a контролируется лишь ошибка первого рода, но нельзя ничего сказать о степени риска, связанного с принятием неверной гипотезы , то есть с возможностью ошибки второго рода.

Пример 3. По двум независимым выборкам, объемы которых n_x = 9 и n_y = 16, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 34,02 и = 12,15. При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Решение. Совокупности Х и Y имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы:

Н ₀: D (Х) = D (Y),

Н ₁: D (Х) > D (Y).

Проверяется нулевая гипотеза по выборочным данным. С этой целью сделаны выборки объемами n_x = 9, n_y = 16 и найдены точечные оценки генеральных дисперсий: = 34,02 и = 12,15.

Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k ₁ = n_х - 1 = 8 и k ₂ = n_y - 1 = 15 степенями свободы. Находим . По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F _крит(0,01; 8; 15) = 4,0. Сравниваем F _набл и F _крит(0,01; 8; 15). Так как F _набл < F _крит(0,01; 8; 15), то есть F _набл попало в область принятия гипотезы (рис. 2), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), а расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное.

Пример 4. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n ₁ = 10 и n ₂ = 8. В результате измерений контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

x_i: 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40; 1,42;

y_j: 1,11; 1,12; 1,18; 1,22; 1,33; 1,35; 1,36; 1,38.

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью при уровне значимости 0,05?

Решение. Признак Х - размер изделия, обработанного на первом станке-автомате. Признак Y - размер изделия, обработанного на втором станке-автомате. Пусть признаки имеют нормальный закон распределения. Выдвигаем гипотезы:

Н ₀: D (Х) = D (Y),

Н ₁: D (Х) > D (Y).

Проверим нулевую гипотезу по выборочным данным с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с и степенями свободы, где n ₁ - объем выборки, по которой найдена .

Предварительно по выборочным данным вычислим исправленные выборочные дисперсии исследуемых признаков. Расчеты представим в таблице:

	xi	xi 2	yj	yj 2
	1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42	1,1664 1,21 1,2544 1,2996 1,3225 1,5625 1,8496 1,9044 1,96 2,0164	1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 - -	1,2321 1,2544 1,3924 1,4884 1,7689 1,8225 1,8496 1,9044 - -
Итого	12,4	15,5458	10,05	12,7127

Найдем наблюдаемое значение критерия:

»1,51.

По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора (прил. 6) находим F _крит(a, k ₁, k ₂) = F _крит(0,05; 9, 7) = 3,68. Сравниваем F _набл и F _крит(0,05; 9; 7).

Так как F _набл < F _крит(0,05; 9; 7), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (рис. 2), нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D (Х) = D (Y), расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное. Следовательно, по данным наблюдения станки обладают одинаковой точностью.