В области введем прямоугольную сетку:
.
На множестве внутренних узлов
имеем
(3)
Вторую производную по x в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(4)
где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(5)
где -1 < t < 1. Получение формул вида (4) и (5) для аппроксимации производных рассматривалось в п.10.1 и 11.1.
Отбрасывая в (4) и (5) остаточные члены и подставляя в (3), получаем разностные (сеточные) уравнения:
. (6)
Разностное уравнение (6) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h: .
Первое начальное условие из (2) аппроксимируется точно уравнением
. (7a)
Во втором начальном условии первую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением в соответствии с равенством
.
В результате получаем разностное уравнение
(7b)
с первым порядком аппроксимации по l:
Таким образом, построена разностная схема (6), (7), которая имеет второй порядок аппроксимации по h и первый порядок аппроксимации по l.