С несколькими входами

Идентификация статических линейных систем

Пусть необходимо идентифицировать систему с «n» входами x₁, x₂,…x_n и одним выходом y. Представим структуру модели в виде линейного алгебраического уравнения вида:

y=a₀ + a₁ x₁+ a₂ x₂+…+ a_nx_n , (6.4)

где a₀, a₁,..a_n - параметры модели, подлежащие идентификации. В результате идентификации мы должны получить вектор оценок истинного вектора . Этому вектору будет соответствовать оценка значения выходной величины .

Для определения значений произведем Nпоследовательных измерений величины у, соответствующих в определенном смысле произвольным набором величин х_i (i=1,2,…n). В результате получим вектор . По N наборам входных величин х_i (i=1,2,…n) будет соответственно N оценок выходных величин

(6.5)

Разница характеризует погрешность каждой модели в каждом из N измерений. Суммарную погрешность будем характеризовать величиной:

(6.6)

Определение оценок производят из условия минимума величины суммарной погрешности J. Таким образом, основой идентификации регрессионными методами служит метод наименьших квадратов. Используя аппарат математического анализа, оценка вектора должна удовлетворять необходимому условию экстремума

(i=0,1,2,…n) (6.7)

Уравнения (6.7) позволяют построить вычислительный процесс идентификации вектора на основе N групп измерений y и . Для получения эффективных и несмещенных оценок * необходимо, чтобы N >> n. Если N= n+1, то в оценке шум измерений не будет сглажен, окажет негативное влияние и случайность наборов . Мерой ошибки регрессионной модели обычно служит величина среднеквадратичного отклонения . С увеличением N уменьшается флуктуация , их величина и является определяющей для выбора N в рамках принятой структуры модели.

К обсуждаемому типу линейных моделей простым преобразованием сводятся применяемые на практике мультипликативные модели. Действительно модель типа

(6.8)

С помощью логарифмирования и замены у=lnW, x_i=lnZ_i (i = 1, 2, …m) (6.8) приводится к виду y= . Зависимости (6.8) широко используются при построении моделей по эмпирическим данным в гидравлике, термодинамике, обработке металлов давлением и т.д. Можно сказать, что и другие типы нелинейных регрессионных моделей, в конечном итоге, сводятся к зависимостям (6.4).