Функции одного случайного аргумента
Замечание. Закон распределения вероятностей будем называть распределением.
Определение 1. Если каждому возможному случайному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины У, то У называется функцией случайного аргумента Х: .
Если известно распределение случайной величины Х, то закон распределение У можно найти по следующим правилам.
Правило 1. Если Х – дискретная случайная величина, причём различным возможным значениям Х соответствуют различные возможные значения У, то вероятности соответствующих значений Х и У равны между собой.
Пример 1. . Найти распределение У, если дано распределение Х:
![]() | ![]() | |||||
![]() | 0,6 | 0,4 | ![]() | 0,6 | 0,4 |
Так как Х дискретная случайная величина, имеет различные возможные значения, то надо найти . Все возможные значения У получились различными, поэтому их вероятности остаются теми же, что и у соответствующих значений Х.
Правило 2. Если Х – дискретная случайная величина, причём различным возможным значениям Х соответствуют значения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать повторяющиеся значения У.
|
|
Пример 2. . Найти распределение У, если дано распределение Х:
![]() | -2 | ![]() | |||||
![]() | 0,4 | 0,5 | 0,1 | ![]() | 0,9 | 0,1 |
Так как Х дискретная случайная величина, имеет различные возможные значения, то надо найти . Так как получилось, что
, то вероятность возможного значения
равна сумме вероятностей несовместных событий
и
:
. Вероятность значения
равна 0,1.
Правило 3. Пусть Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения ,
. Если
дифференцируемая строго монотонная функция, обратная к которой
, то плотность распределения случайной величины У можно найти по формуле
.
Пример 3. Случайная величины Х распределенная нормально с математическим ожиданием, равным нулю. Найти распределение .
Следствие. Линейная функция нормально распределённой случайной величины Х с математическим ожиданием
и средним квадратичным отклонением
распределена нормально, причём
,
.