Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает яв­ления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Чтобы применить это уравнение к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия. Кроме того, должны быть известны: гео­метрическая форма и размеры тела, физические параметры среды и тела и граничные условия, характеризующие распределение тем­ператур на поверхности тела или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с диф­ференциальным уравнением дают полное описание конкретного про­цесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени τ = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением темпе­ратуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

Законы конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой отличаются большой сложностью и будут рассмотрены в специальном разделе курса. В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона — Рихмана:

q = α (t _ж - t _ст), (5-13)

где q — плотность теплового потока, Вт/м²;

t _ж — температура окружающей среды (жидкости), °С;

t _ст— температура поверхности тела (стенки), °С; a — коэффициент пропорциональности, называемый коэф­фициентом теплоотдачи, Вт/м²·град.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность тепло­обмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он чис­ленно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 °С. Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов. Для упрощения решения задач теплопроводности твердого тела мы будем принимать в большинстве слу­чаев его величину постоянной.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, от­даваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, кото­рая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т. е.

α (t _ж - t _ст) = - λ ()_пов, (5-14)

где ()_пов— проекция температурного градиента на направление нормали к площадке dF; индекс «пов» пока­зывает, что температурный градиент относится к поверхности тела (при п = 0). Равенство (1-14) является математической формулировкой гра­ничного условия третьего рода; оно является действительным для каждого момента времени.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить темпера­турное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию

t = f (x, y, z, τ).

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

1. Организационная часть лекции: принимается рапорт о готовности курсантов к занятию, отмечаются в журнале отсутствующие (время 3-5 мин.).