Предел функции в точке

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀, кроме, быть может, самой точки x ₀.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения преде­ла функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гей­не ).

Число А называется пределом функции у = f (x)в точке х ₀ (или при

х →x ₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_п, п N (х_п ≠ x ₀), сходящейся к x ₀ (т. е. ) последовательность соответствующих значений функции f (x_n), п N, сходится к числу А (т. е. ).

В этом случае пишут или f (x)→ А при х→ х ₀. Геометрический смысл предела функции:  означает, что для всех точек x, достаточно близких к точке x ₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε - δ», или по Коши). Число А на­зывается пределом функции в точке х ₀ (или при х → х ₀), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ,что для всех х ≠ х ₀,удовлетворяющих неравенству , выполняется не­равенство .

Записывают . Это определение коротко можно записать так:

Геометрический смысл предела функции:, если для любой ε -окрестности точки А найдется та­кая δ-окрестность точки x ₀, что для всех x ≠x ₀ из этой δ-окрестности соот­ветствующие значения функции f (x) лежат в ε-окрестности точки А. Ины­ми словами, точки графика функции у= f (х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А+ ε, у = А - ε (см. рис. 1). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэто­му пишут δ=δ(ε).

Рис. 1.