Приложение к теме: «Применение производной для решения практических задач»

 

I.ПОВТОРЕНИЕ

1.  значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной.
2. механический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная это – скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» вточке x. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная  это – скорость в момент времени t. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) – скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени.

 

1. Устный счет. Вычислите производную.

 

y=2x3 +6;	7. y= x5 – 4x6
y =3x -2;	8. y=3ctg x-1
y =7+sinx	9. y= 8-9x +7cosx
y =x9	10. y= 4
y =2tgx-8x	11. y=3sinx-7cosx
y=	12. y=x5 -

 

II. НОВЫЙ МАТЕРИАЛ.

Экономический смысл производной.

Z = VꞋ (t)

Мы вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она имеет и экономический смысл. Например, производительность труда в данный момент есть производная объема произведённой продукции по времени:      

 

 

Z- Производительность труда, V – объём произведённой продукции.

Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей:

Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная= скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.

у Ꞌ	Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается
у ꞋꞋ	Показывает, в каком темпе это происходит

 

 

III. ЗАДАЧИ.

1. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой
2.  v= -  t³+ t² +100t +50, 1  t  8, t – время.

Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

2. самостоятельное изучение материала и конспектирование.

 Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара

 p(х)=100 -  .

1) Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?

2) Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?

 

Решение: Прибыль вычисляется по формуле:

Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х -  -25х – 200 = -  + 75х – 200.

Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х).

 Q Ꞌ(х) = -  + 75 = 0, х=1875

 

 

QꞋ (х) _______+ _______________-- _______

   Q(х) 0        ↑       1875     ↓

                                          max

 

Чтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.

Величина прибыли: 1875* (100 - ) – 25*1875 – 200 = 70112,5

С учетом налога: Q(х) = х*р(х) – d(х) – 10х =

 х* р(х) – 35х – 200 = 100х -  – 35х – 200 =65х -   - 200, QꞋ (х) = -  +65=0, х=1625.

 

 

 Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________

           0             ↑        1625         ↓      

                                               max

 

 

Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.

 

Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.

 

IV.Д/З:  учить конспект, решить задачу №4;

 № 4 Пельменный цех производит  «х» кг. пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функции затрат имеет вид

 К(х) = - х³ + 98 х²  + 200х.

 

IV. Самостоятельная работа.

 

в а р и а н т	На «3» Вычислите производную.	На «4» Исследуйте функцию с помощью производной	На «5» Решите практическую задачу
	у =8х – х3	у= х3 – 27х	Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?
	у= х4 -2х	у = 2х3 -6х	Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = )

 

 Самостоятельная работа.

 

в а р и а н т	На «3» Вычислите производную.	На «4» Исследуйте функцию с помощью производной	На «5» Решите практическую задачу
	у= х4 -2х	у = 2х3 -6х	Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = )

 

 Самостоятельная работа.

 

в а р и а н т	На «3» Вычислите производную.	На «4» Исследуйте функцию с помощью производной	На «5» Решите практическую задачу
	у= х4 -2х	у = 2х3 -6х	Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид: К(х) = х3 – 4х2 + 9х. Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = )

 

Самостоятельная работа.

 

в а р и а н т	На «3» Вычислите производную.	На «4» Исследуйте функцию с помощью производной	На «5» Решите практическую задачу
	у =8х – х3	у= х3 – 27х	Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?

 

Самостоятельная работа.

 

в а р и а н т	На «3» Вычислите производную.	На «4» Исследуйте функцию с помощью производной	На «5» Решите практическую задачу
	у =8х – х3	у= х3 – 27х	Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой: К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000. Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?