Выберем в качестве аналогового фильтра-прототипа простейший вариант - фильтр нижних частот, состоящий из однозвенной интегрирующей RC -цепи (рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Аналог-прототип - RC -цепь.
Получение эквивалентного цифрового фильтра, обладающего свойствами аналогового прототипа, базируется в проводимом ниже рассмотрении на операции дискретизации временных процессов, действующих в цепях этого прототипа: входного x (t) и выходного y (t) эффектов, импульсной и переходной характеристик. При дискретизации временных процессов производная по времени заменяется выражением:
(2.3)
где D t – приращение по времени.
В цифровых фильтрах D t равно интервалу дискретизации T; y (t – D t) и y (t) – значения y в дискретные моменты (n – 1) T и nT, где n – номер интервала дискретизации. С учетом этого производную в (2.3) можно представить в виде:
(2.4)
Дифференциальное уравнение фильтра в виде однозвенной RC -цепи (рис.2.1) имеет вид:
|
|
Заменим y (t) на y (n), x (t) на x (n), а производную представим в соответствии с выражением (2.4). В результате получим:
у (п) = ах (п) + bу (п - 1), (2.5)
где
Уравнение (2.5) носит название разностного уравнения. Ценность разностного уравнения состоит в том, что оно позволяет сразу же, без каких-либо дополнительных исследований, представить структуру цифрового фильтра. Действительно, в соответствии с (2.5) выходная последовательность у (п)является суммой двух последовательностей, определяемых первым и вторым слагаемыми правой части (2.5). Следовательно, выход цифрового фильтра должен быть соединен с выходом двухвходового сумматора. На первый вход сумматора поступает входная последовательность х (п),предварительно умноженная на постоянную величину а,а на второй вход – выходная последовательность у (п – 1), задержанная на один такт дискретизации и умноженная на вторую постоянную величину b.
Структура полученного цифрового фильтра показана на рис. 2.2. Назовем этот фильтр цифровой RC-цепью.
Рис. 2.2.
Структура цифровой RC -цепи.
Заметим, что цифровая RC- цепь состоит из комбинации всего лишь трех типов функциональных блоков, выполняющих операции суммирования, умножения и задержки на один такт T. В дальнейшем мы увидим, что наличие таких функциональных блоков присуще цифровым фильтрам сколь угодно сложной структуры. Величины а и b называются коэффициентами цифрового фильтра.
Особенностью структурной схемы полученного цифрового фильтра является наличие петли обратной связи с выхода на вход сумматора, состоящей из блока задержки и умножителя на коэффициент b. Действие обратной связи заключается в том, что в вычислении очередного отсчета выходной последовательности у (п)участвует ее предыдущий отсчет у (п -1). Цифровые фильтры такого типа называются рекурсивными.
|
|
Убедимся теперь, что цифровой фильтр с разностным уравнением (2.5) действительно соответствует заданному фильтру-прототипу в виде интегрирующей RC- цепи. Проверку на такое соответствие проведем, сравнив импульсные характеристики полученного цифрового фильтра и его аналогового прототипа.
Для фильтра в виде интегрирующей RC -цепи (рис. 2.1) импульсная характеристика, т. е. отклик на единичный d-импульс, описывается экспонентой:
(2.6)
После дискретизации этой функции образуется так называемая дискретная импульсная характеристика (ДИХ), имеющая вид:
. (2.7)
Вполне естественно ожидать, что такой характеристикой обладает синтезированный цифровой фильтр, описываемый разностным уравнением (2.5). Проверим это. Для этого на вход цифрового фильтра, как и в аналоговом варианте, необходимо подать испытательное воздействие в виде цифрового единичного импульса (1.2). Выходной эффект y (n) = h (n), т.е.саму ДИХ, рассчитаем с помощью разностного уравнения (2.5). Результаты такого расчета приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
n | x (n) | y (n - 1) | y (n) |
a | |||
a | ab | ||
ab | ab 2 | ||
ab 2 | ab 3 | ||
ab 3 | ab 4 | ||
... | ... | ... | ... |
При составлении табл. 2.1 предполагалось, что в момент подачи единичного импульса (момент нулевой выборки n = 0) фильтр был «разряжен», т.е. предыдущее значение у (-1) = 0. Таким образом, в соответствии с выражением (2.5) ДИХ исследуемого цифрового фильтра имеет вид
(2.8)
что отличается от экспоненты (2.7). Преобразуем (2.8), имея в виду два обстоятельства:
коэффициент а устанавливает только масштаб выходной последовательности и его выбор может быть в достаточной мере произвольным, примем а =1;
коэффициент b представим так:
Легко видеть, что выражение в скобках – это первые два члена ряда, представляющего экспоненту
при малых m, т.е. небольших значениях отношения T /tФ.
С учетом отмеченных обстоятельств выражение (2.8) можно представить в виде:
(2.9)
что, хотя и приближенно, но соответствует требуемой ДИХ (2.7) нашего фильтра-прототипа.
Точное соответствие между ДИХ цифрового фильтра по рис. 2.2 и импульсной характеристикой фильтра-прототипа по рис. 2.1 будет иметь место при следующих коэффициентах:
(2.10)
Как мы показали, описанный здесь метод дискретизации дифференциального уравнения фильтра-прототипа не позволяет точно определить коэффициенты цифрового фильтра. Причины этого, а также другие более точные методы дискретизации будут рассмотрены позже (раздел 6.2).
В заключение укажем, что ДИХ, описываемая выражениями (2.8) или (2.9), имеет теоретически бесконечную протяженность во времени. Фильтры с такой ДИХ называются БИХ-фильтрами.