.
Определение 3 (предела по Гейне).Пусть функция определена на множестве
и
– точка сгущения этого множества. Число
называется пределом функции
при
или, также, пределом функции
в точке
, если для любой последовательности
последовательность
сходится и
![]() | (3) |
Замечание 4. Последнее определение называют также определением предела функции на языке последовательностей.
Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что если число является пределом функции
при
в смысле одного из определений 2 и 3, то оно является также и ее пределом в точке
(точке сгущения множества
) и в смысле другого из этих определений.
Пусть
![]() | (4) |
Выберем произвольную последовательность
и произвольное . В силу условия (4) и определения 2 найдется
такое, что для любого
, удовлетворяющего неравенствам (1) имеет место и неравенство (2). В свою очередь, поскольку
, то для этого
найдется такой номер
, что
,
а так как по условию и
, то по определению 2
![]() ![]() | (5) |
В силу произвольности это и означает, что имеет место равенство (3), т.е.
![]() | (6) |
Обратно, пусть имеет место равенство (6). Докажем, что тогда имеет место и равенство (4). Предположим противное. Тогда :
.
Зафиксируем это . Для него, в частности,
:
,
при этом очевидно, что . Таким образом, нашлась последовательность
такая, что
![]() | (7) |
Однако, для той же последовательности и того же в силу условия (6), определения 3 и определения предела числовой последовательности найдется такой номер
, что будет иметь место и неравенство (5), противоречащее неравенству (7). Следовательно (6)⇒(4) □
Следующие теоремы, с учетом определения предела функции по Гейне являются прямыми следствиями аналогичных теорем о пределе последовательности.
Теорема 2. Если функция имеет предел в точке
, где
– точка сгущения множества
, то этот предел единственный.
Теорема 3 (об арифметических свойствах предела функции). Пустьфункции и
определены на множестве
и
- точка сгущения этого множества. Тогда если существуют пределы
и
,
то существуют и пределы
,
,
,
(последний при дополнительном предположении, что и ),
причем
а) ,
б) (теорема о пределе суммы и разности),
в) (теорема о пределе произведения),
г) (теорема о пределе частного).
Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве). Пустьфункции и
определены на множестве
и
- точка сгущения множества
. Тогда если
и существуют пределыи
, то
.
Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пустьфункции ,
и
определены на множестве
и
- точка сгущения множества
. Тогда если
и существуют равные между собой пределы
и
,
то существует и равный им предел
,
т.е.
.
Теорема (критерий Коши). Пусть функция определена на множестве
и
точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел
![]() | (7) |
необходимо и достаточно, чтобы
![]() | (8) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует предел (7) и для определенности пусть . Выберем произвольное
. Тогда найдется такое
, что для любых
, удовлетворяющих неравенствам
и
справедливы неравенства
и
.
Поскольку , то тогда при тех же
справедливо и неравенство (8). Необходимость доказана.
Достаточность. Покажем сначала, что для любой последовательности , последовательность
– фундаментальная и, следовательно, она имеет предел. Выберем произвольную последовательность
и произвольное
. По условию
такое, что
справедливо неравенство (8). Зафиксируем это
. Тогда в силу того, что
и
найдется такой номер
, что при
.
Таким образом, при
, но тогда по выбору
имеем
.
В силу произвольности выбранного это и означает, что последовательность
– фундаментальная.
Покажем теперь, что для любой последовательности предел
один и тот же. Тогда в силу определения предела функции по Гейне это и будет означать, что существует предел (7). Предположим противное, т.е. пусть имеются две последовательности
и
(
), которые сходятся к точке
и
,
, причем
. Рассмотрим последовательность
.
Очевидно, она сходится к точке , при этом все ее точки принадлежат множеству
и отличны от точки
. Тогда по доказанному выше последовательность
сходится и, следовательно, любые ее подпоследовательности имеют один и тот же предел, а это противоречит тому, что ,
и
□