1) Напомним, что суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией.
Теорема. Пусть функция определена на интервале , а функция определена на интервале , причем . Тогда если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и
(1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем
(2) |
и
(3) |
Как известно
, | (4) |
где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что функция непрерывна в точке .
Из (3) и (4) следует, что
Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим
и, следовательно,
(5) |
Поскольку функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции
.
А так как, кроме того,
то из (5) следует, что существует конечная производная
и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке .
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала
(6) |
И, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь
или
(7) |
Считая точку произвольной (то есть заменяя на произвольное ). Равенства (6) и (7) записывают в виде
(6¢) | |
(7¢) |
Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную. В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.