Прежне всего напомним, что всякая строго монотонная функция имеет обратную
, которая строго монотонна в том же смысле, что и “прямая” функция. При этом обратная функция будет непрерывной на промежутке
, если прямая строго монотонная функция непрерывна на промежутке
.
Теорема. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности
точки
. Пусть, кроме того, функция
дифференцируема в точке
и
. Тогда обратная к ней функция
дифференцируема в точке
, причем
![]() | (1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел
Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел
![]() | (2) |
Рассмотрим функцию
![]() | (3) |
В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности
точки
. В точке
функция
имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством
,
то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке
(как обратная к непрерывной, строго монотонной функции
), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция
будет непрерывной в той же точке
и, следовательно,
|
|
![]() | (4) |
Поскольку в некоторой проколотой окрестности точки
в силу равенства (3) имеет место равенство
,
и предел функции в данной точке не зависит от того, как она определена в этой точке, то из (4) следует, что функция дифференцируема в точке
и имеют место равенства (1) □