Образ нуля равен нулю. Действительно, , отсюда
.
Множество векторов из W, образ которых равен 0, называется ядром линейного оператора. Ядро линейного преобразования обозначим (
). Ядро является подпространством W (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают
.
Множество всех образов векторов из W обозначают (
). Множество образов является подпространством V (докажите), его размерность называют рангом линейного оператора и обозначают
.
Теорема 6.4. .
Доказательство. Пусть – базис
. По определению
для каждого вектора
существует прообраз
из W. Система векторов
является линейно независимой. Действительно, из равенства
, выводим
, или
. В силу линейной независимости, все коэффициенты равны 0, и система
является линейно независимой. Аналогично показывается, что пересечение линейной оболочки векторов
и
состоит только из нулевого вектора. Действительно, из включения
, выводим
, и далее,
. Для любого вектора x из W найдутся коэффициенты, что
, и
. Таким образом W представляется в виде прямой суммы линейной оболочки векторов
и
. Теорема вытекает из свойства прямой суммы.
|
|
Следствие 6.1. Можно выбрать базисы в пространствах W и V так, чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество ненулевых элементов на диагонали равно рангу оператора.
Доказательство. Пусть и
имеют тот же смысл, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Дополним векторы
до базиса V, а векторы
до базиса W векторами из
. Полученные базисы обозначим через
и
, соответственно. Построим матрицу линейного оператора в этих базисах. Заметим,
, а координаты вектора
в базисе
равны (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит на i -ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество 1 равно рангу оператора.