Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах

Тема 5. Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах.

МОДУЛЬ 2. Основные термодинамические процессы в газах и их смесях

Вопросы для самопроверки

1. Возможен ли процесс, в котором теплота, взятая от горячего источни

ка, полностью превращается в работу?

2. Какой максимальный КПД тепловой машины, работающей между температурами 400 и 18^оС

3. Что называется вечным двигателем первого рода?

Основными процессами, весьма важными и в теоретическом, и в прикладном отношениях, являются: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающнй при постоянном давлении; изотермический, происходящий при постоянной температуре; адиабатный — процесс, при ко-тором отсутствует теплообмен сокружающей средой, и политропный, удов-летворяющий уравнению рvⁿ = соnst.

Метод исследования процессов, не зависящий от их особенностей и являющийся общим, состоит в следующем:

выводится уравнение процесса, устанавливающее связь между начальными и конечными параметрами рабочего тела в данном процессе;

вычисляется работа изменения объема газа;

определяется количество теплоты, подведенной (или отведенной) к газу в процессе;

определяется изменение внутренней энергии системы в процессе;

определяется изменение энтропии системы в процсссе.

Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие dv = 0 или v=соnst. Из уравнения состояния идеального газа (4) следует, что р/Т = R = v=соnst т.е.давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

р₂/р₁=Т₂ /Т₁ (41)

Работа расширения в этом процессе равна нулю, так как dv =0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 12 при c_v = const, определяется из соотношений (26):

q= (42)

При переменной теплоемкости

(43)

где с_а |- средняя массовая изохорная теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂.

На рис. 11. представлен график процесса.

Так как t = 0, то в соответствии с первым законом термодинамики ∆u = q и

∆u = с_v(Т₂ – Т₁) при с_v = соnst;

∆u = с_v | при с_v = vаr (44)

Поскольку внутренння энергия идеального газа является функцией только его температуры, то формулы (44) справедливы для любого термодинамического процесса идеального газа.

Изменение энтропии визохорном процессе определяется:

s₂ – s₁ = с_v ln (Т₂/Т₁), (45)

т. е. зависимость энтропии от температуры на изохоре при с_v = соnst имеет логарифмический характер (см. рис. 4.1).

Изобарный процесс. Из уравнения состояния идеального газа (4) при р = = соnst находим v/Т= R/р = соnst, или

v₂/v₁ = Т₂/Т₁ (46)

т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре (закон Гей-Люссака, 1802 г.). На рис. 12 изображен график процесса. Из выражения следует, что

(47)

Так как pv₁ = RT₁ и pv₂ = RT₂, то одновременно

l = R(T₂ – T₁) (48)

Количество теплоты, сообщаемое газу при нагревании (или отдаваемое им при охлаждении), находим из уравнения (26):

(49)

где с_рср - средняя массовая изобарная теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂;при с_р = соnst

q = с_р(t₂ – t₁). (50)

Рис. 12. Изображение изобарного процесса в р, v- и Т,s – координатах

Измемение энтропии при с_р = соnst равно:

s₂ – s₁ = с_рln (Т₂/Т₁) (51)

т. е. температурная зависимость энтропии при изобарном процессе тоже имеет логарифмический характер, но поскольку с_р>с_v, то изобара в Т, s -диаграмме идет более полого, чем изохора.

Изотермический процесс. При изотермическом процессе температура

постоянна, следовательно, pv=RT=const, или

р₂/р₁ = v₁/v₂ (52)

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изо-термическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении - падает (закон Бойля — Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в р,v -координатах, как показывает

уравнение (52), является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами (рис.13).

Рис. 13. Изображение изотермического процесса в р, v- и Т, s –координатах

Работа процесса:

(53)

Так как температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в данном процессс остается постоянной (∆u = 0) и вся подводимая к газу теплота полностью превращается в работу расширения:

q=l (54)

При изотермическом сжатии от газа отводится теплота в количестве, равном затраченной иа сжатие работе.

Из соотношений (32) и (52) следует, что изменение энтропии в изотермическом процессе выражается формулой

. (55)

Адиабатный процесс. Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатным, т. е. δq = 0. Для того чтобы осуществить такой процесс, следует либо теплоизолировать газ, т. е. поместить его в адиабатную оболочку, либо провести процесс настолько быстро, чтобы изменение температуры газа, обусловленное его теплообменом с окружающей средой, было пренебрежимо мало по сравнению с изменением температуры, вызванным расширением или сжатием газа. Как правило, это возможно, ибо теплообмен происходит значителыю медленнее, чсм сжатие или расширение газа.

Уравнения первого закона термодинамики для адиабатного процесса прини-мают вид: с_рdТ – vdр=0; с_v dТ + рdv=0. Поделив первое уравнение на второе, получим

, или

Интегрируя последнее уравнение при условии, что k = с_р/с_v =соnst, находим

и .

После потенцирования имеем , или

(56)

Это и есть уравнения адиабаты идеального газа при постоянном отношении теплоемкостей (k = соnst).

Величина

k= с_р/с_v (57)

называется показателем адиабаты. Подставив с_р = с_v + R, получим k = 1 +Rс_v. Согласно классической кинетической теории теплоемкость газов не зависит от температуры,поэтому можно считать, что величина k также не зависит от температуры и определяется числом степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа k =1,66, для двухатомного k =1,4, для трех- и многоатомных газов k =1,33.

Поскольку k > 1, то в координатах р, v (рис. 14) линия адиабаты идет круче линии изотермы: при аднабатном расширении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа.

Рис. 14. Изображение адиабатного процесса в р,v- и Т,s- координатах

Определив из уравнения состояния, написанного для состояний 1 и 2, отношение объемов или давлений и подставив их в (56), получим уравнение адиа-батного процесса в форме, выражающей зависимость температуры от обьема или давления:

;

(58)

Работа расширепия при адиабатном процессе согласно первому закону термодинамики совершается за счет уменьшения внутренней энергии и может быть вычислена по одной из следующих формул:

(59)

Так как при р₁v₁=RТ₁ и р₂ v₂=RТ₂ , то

(60)

В данном процессе теплообмен газа с окружающей средой исключается, поэтому q = 0. Выражение с = δq/dТ показывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.

Поскольку при адиабатном процессе δq = 0, энтропия рабочего тела не изме-няется (ds = 0 и s=соnst). Следовательно, на Т, s - диаграмме адиабатный процесс изображается вертикально.

Политропиый процесс и его обобщающее значение. Любой произвольный процесс можно описать в р, v - координатах (по крайней мере на небольшом участке) уравнением

рvⁿ = соnst, (61)

подбирая соответствующее значение n. Процесс, описываемый уравнением (4.21), называется политропным. Показатель политропы п может принимать любое численное значение в пределах от - ∞ до +∞, но для данного процесса он является величиной постоянной.

Из уравнения (61) и уравнения Клапейрона нетрудно получить выражения, устанавливающие связь между р, v и Т в любых двух точках на политропе, аналогично тому, как это было сделано для адиабаты:

; ; (62)

Работа расширения газа в политропном процессе имсст вид .

Так как для политропы в соответствии с (62)

,

то

(63)

Уравнение (63) можно преобразовать к виду:

;

; (64)

Количество подведенной (или отведенной) в процессе теплоты можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики: q=(u₂ – u₁) + l.

Поскольку u₂ – u_{1 =}с_v (Т₂ — Т₁); , то

, (65)

где

(66)

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе. При постоянных с_v, k и n теплоемкость с_n = const, поэтому политропный процесс иногда определяют как процесс с постоянной теплоемкостью. Изменение энтропии

(67)

Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов. Ниже приведены характеристики термодинамических процессов.

Процесс п с_n

Изохорный +∞ с_v

Изобарный 0 с_р

Изотермический 1 ∞

Адиабатный k 0

На рис. 15 показано взаимное расположение на р, v- и Т,s - диаграммах поли-тропных процессов с разными значениями показателя политропы. Все процессы начинаются в одной точке («в центре»).

Изохора (п= ± ∞) делит поле диаграммы на две области: процессы, нахо-дящиеся правее изохоры, характеризуются положительнй работой, так как сопровождаются расширением рабочего тела; для процессов, расположенных правее изохоры, характерна отрицательная работа.

Процессы, расположенные правее и выше адиабаты, идут с подводом теп-лоты к рабочему телу; процессы, лежащие левее и ниже адиабаты, протекают с отводом теплоты.

Для процессов, расположенных над изотермой (n = 1), характерно увеличе-ние внуиренней энергии газа; процессы, расположенные под изотермой, сопро-вождаются уменьшением внутренней энергии.

Рис. 15. Изображение основных термодинамических процессов идеального газа в р, v - и Т, s -координатах

Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрица-тельную теплоемкость, так как δq и du (а следовательно, и dТ), имеют в этой области противоположные знакн. В таких процессах | l | › | q |, поэтому на произ-водство работы при расширении тратится не только подводимая теплота, но и часть внутренней энергии рабочего тела.