Вопросы для самопроверки. Массовый расход газа т через сопло определяется из соотношения

Тогда

(85)

Массовый расход газа т через сопло определяется из соотношения.

т=Fс₂/υ₂ (86)

где F – площадь выходного сечения сопла.

Воспользовавшись выражением (85) и (84), получим

(87)

Из выражения (86) следует, что массовый расход идеального газа при истечении зависит от площади выходного сечения сопла, свойств и начальных параметров газа (k, p₁, υ₁,)и степени его расширения (т. е. давления р₂ газа на выходе).

По уравнению (86) построена кри­вая 1К0 на рис. 17.

Рис. 17. Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения р₂/р₁

При p₂ = p₁ расход, естественно, ра­вен нулю. С уменьшением давления сре­ды р₂ расход газа увеличивается и до­стигает максимального значения при р₂/р₁=β_кр. При дальнейшем уменьшении отношения p₂/p₁ значение т, рассчитан­ное по формуле (51), убывает и при р₂/р₁=0 становится равным нулю.

Сравнение описанной зависимости с экспериментальными данными показа­ло, что для β_кp<p₂/p₁<l результаты полностью совпадают, а для 0<p₂/p₁<β_кр они расходятся—действительный массовый расход на этом участке остает­ся постоянным (прямая KD).

Для того чтобы объяснить это рас­хождение теории с экспериментом, А. Сен-Венан в 1839 г. выдвинул гипотезу о том, что в суживающемся сопле невоз­можно получить давление газа ниже не­которого критического значения р_кр, со­ответствующего максимальному расходу газа через сопло. Как бы мы ни пони­жали давление р₂ среды, куда происходит истечение, давление на выходе из сопла остается постоянным и равным р_кр.

Для отыскания максимума функции т=f(p₂/p₁₌f(β) (86) (при р₁ = const), соответствующего значению β_кр, возьмем первую производную от вы­ражения в квадратных скобках и при­равняем ее нулю:

откуда

(87)

Таким образом, отношение критического давления на выходе р₂ = р_кр к давлению перед соплом р₁ имеет постоянное значе­ние и зависит только от показателя адиа­баты, т. е. от природы рабочего тела.

Газ 1-атомный 2-атомный 3-атомный и перегретый пар

k 1,66 1,4 1,3

β_кр 0,49 0,528 0,546

Таким образом, изменение β_кр невелико, поэтому для оценочных расчетов можно принять β_кр≈0,5.

Критическая скорость уста­навливается в устье сопла при исте­чении в окружающую среду с давлением, равным или ниже критического. Ее мож­но определить из уравнения (84), под­ставив в него вместо отношения р₂ /р₁ значение β_кр:

(88)

Величина критической скорости опре­деляется физическими свойствами и на­чальными параметрами газа.

Из уравнения адиабаты следует, что υ₁ = υ_кр (p_кp/p₁)^1/к. Заменяя здесь отно­шение (р_кр/р₁) в соответствии с уравне­нием (87), получаем

Подставляя отсюда значение υ₁, а из (87) —значение p₁ в формулу (88), получаем .Из курса физи­ки известно, что есть скорость распространения звука в среде с параметрами p = p_кр и υ=υ_кр.

Таким образом, критическая ско­рость газа при истечении равна местной скорости звука в выходном сечении со­пла. Именно это обстоятельство объяс­няет, почему в суживающемся сопле газ не может расшириться до давления, меньшего критического, а скорость не может превысить критическую.

Действительно, как известно из фи­зики, импульс давления (упругие колеба­ния) распространяется в сжимаемой сре­де со скоростью звука, поэтому когда скорость истечения меньше скорости зву­ка, уменьшение давления за соплом пе­редается по потоку газа внутрь канала с относительной скоростью с+а и приводит к перераспределению дав­ления (при том же значении давле­ния газа p₁ перед соплом). В результате в выходном сечении сопла устанавлива­ется давление, равное давлению среды.

Если же скорость истечения достиг­нет скорости звука (критической скоро­сти), то скорость движения газа в вы­ходном сечении и скорость распростране­ния давления будут одинаковы. Волна разрежения, которая возникает при дальнейшем снижении давления среды за соплом, не сможет распространиться против течения в сопле, так как относи­тельная скорость ее распространения (а-с) будет равна нулю. Поэтому ни­какого перераспределения давлений не произойдет и, несмотря на то, что давле­ние среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной скорости звука на выходе из сопла.

Максимальный секундный рас­ход газа при критическом значе­нии β_кр можно определить из урав­нения (86), если в него подставить

β_кр=[2/(κ+1)]^κ/(κ-1)

Тогда

(54)

Максимальный секундный расход оп­ределяется состоянием газа на входе в сопло, величиной выходного сечения сопла F_мин и показателем адиабаты газа, т. е. его природой.

Все приведенные соотношения при­ближенно справедливы и для истечения из непрофилированных специально сопл, например из отверстий в сосуде, находя­щемся под давлением. Скорость истече­ния из таких отверстий не может превы­сить критическую, определяемую форму­лой (88), а расход не может быть больше определяемого по (89) при лю­бом давлении в сосуде. (Из-за больших потерь на завихрения в этом случае рас­ход вытекающего газа будет меньше рас­считанного по приведенным формулам).

Чтобы получить на выходе из сопла сверхзвуковую скорость, нужно придать ему специальную форму, что видно из следующего параграфа.

1. Написать уравнение первого закона термодинамики

2. Во сколько раз изменится теоретическая скорость истечения сухого насыщенного пара (р₁=4,5 МПа) в атмосферу, если суживающееся сопло заменить соплом Лаваля? Трение в сопле не учитывать.