Понятие «независимости» играет ключевую роль в теории вероятностей: оно выделило теорию вероятностей из теории меры (ибо в теории вероятностей находятся вероятности различных событий – суть измеряется мера определенного множества по сравнению с множеством единичной меры).
Однако перейдём к понятию независимости. Если и два события, то естественно сказать, что событие не зависит от события , если знание того, что свершилось событие , никак не влияет на вероятность события . Иначе говоря (при условии >),
.
По определению условной вероятности:
.
Поэтому
,
откуда
.
Последнее равенство и принято в теории вероятностей за определение независимости двух событий.
Итак, два события и называются независимыми, если
Прелесть этого определения ещё и в том, что оно годится и для случая, когда (в отличие от рассуждений в начале этого пункта).
Пример. Безотказная работа прибора определяется работой двух узлов, соединённых последовательно. Вероятность безотказной работы -ого узла равна:
|
|
Узлы работают независимо друг от друга. Какова вероятность безотказной работы всего прибора.
Решение. Введём следующие обозначения:
- событие, состоящее в безотказной работе всего прибора;
- событие, состоящее в безотказной работе -ого узла прибора ().
Тогда в силу «последовательности» соединения
.
Поэтому
,
а в силу независимости работы узлов прибора (вероятность произведения равна произведению вероятностей):
Всякое последовательное соединение приводит к потере устойчивости в работе прибора!