Рассмотрим предельные случаи

1. T ® 0. При этом отношение (q/ T) ® ¥ и интеграл в выражении (21.12) вычисляется в пределах от 0 до ¥:

. (21.13)

С учетом (21.13) и равенства R=kN_A получим формулы для энергии и теплоемкости кристалла при T ® 0

. (21.14)

Зависимость энергии кристалла ~ T⁴ при низких тем­пературах объясняется с одной стороны увели­чением числа осцилляторов, «включающих­ся» в работу c ростом температуры, и с другой стороны - увеличением средней энергии каждого осцилля­тора. При высоких температурах первый механизм выключается, так как выше характе­ристической температуры возбуждены все осцилляторы.

Теплоемкость при T ® 0 найдем, дифференцируя (21.14) по температуре:

. (21.15)

Формула (21.15) называется законом кубов Дебая

2. T >> q. В этом случае высоких температур x ® 0, поэтому можно записать, что . В результате из (21.12) получим для внутренней энергии при высоких температурах

. (21.16)

которая согласуется с классическим законом Дюлонга и Пти. Продифференцировав (21.16) получим для теплоемкости С= 3 N _А k =3 R, т.е. закон Дюлонга и Пти.

Таким образом, квантовая теория теплоемкости Дебая хорощо описывает экспериментальные данные во всем интервале температур от 0 до ¥.