Нормальное распределение. Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a

14 15 16 17 18 19 20

Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если

, s>0. (5)

Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N (a; s).

Покажем, что p (x) – плотность

(показано в лекции 6).

График плотности нормального распределения (рис. 3) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Рис.3

Плотность распределения симметрична относительно прямой х = a. Если х ® ¥, то р (х) ® 0. При уменьшении s график «стягивается» к оси симметрии х = a.

Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет «примерно» нормальное распределение.

Так как – плотность нормального закона распределения с параметрами а = 0 и s =1, то функция = Ф (х), с помощью которой вычисляется вероятность , является функцией распределения нормального распределения с параметрами а = 0 и s =1.

Функцию распределения случайной величины Х с произвольными параметрами а, s можно выразить через Ф (х) – функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами а = 0 и s =1.

Пусть Х ~ N (a;s), тогда

. (6)

Сделаем замену переменных под знаком интеграла , получим

F (x) = . (7)

В практических приложениях теории вероятностей часто требуется найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного отрезка . В соответствии с формулой (7) эту вероятность можно найти по табличным значениям функции Лапласа

. (8)

Найдем медиану нормальной случайной величины Х ~ N (a; s). Так как плотность распределения р(х) симметрична относительно оси х = а, то

р (х < a) = p (x > a) = 0,5.

Следовательно, медиана нормальной случайной величины совпадает с параметром а:

Х _0,5= а.

Задача 1. Поезда в метро идут с интервалом в 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придется ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) мин. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать ближайший поезд не более 0,5 мин.

Решение. Очевидно, что p(x) = 1/2. Тогда, Р_0,5 = Р( 1,5 <X< 2 ) = = 0,25

Задача 2. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Предполагается, что средняя длина пробега автомобиля с новым двигателем – 160 тыс. км, со стандартным отклонением – σ = 30 тыс.км. Чему равна вероятность, что до первого ремонта число км. пробега автомобиля будет находиться в пределах от 100 тыс. км. до 180 тыс. км.