Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве цилиндрических тел

В разделе 4.1 приведены аналитические решения для расчета относительных термических напряжений в любой точке неограниченной пластины при ее конвективном нагреве в печи с постоянной температурой греющей среды - см. уравнения (4.1)…(4.55), а именно

, (4.56)

на поверхности при Х =1

= (4.57)

и в центре пластины при Х =0

=, (4.58)

где— безразмерные термические напряжения, ;

s ₀ = bЕDt ₀ / (1 –n) — максимально возможные термические напряжения, Па.

Здесь относительные температуры:

в любой точке

, (4.59)

на поверхности

, (4.60)

в центре

(4.61)

и среднемассовая

,(4.62)

где = (t (τ) –t _c)/ Dt ₀; Dt ₀ = t ₀ – t_c; t _{0 ­} —начальная температура тела, °С;

Fо= aτ / R ₀² - число Фурье;

Вi= αR ₀/ λ -число Био;

– тепловая амплитуда;

;;; ; ;

– собственные числа, определяемые характеристическим уравнением:

. (4.63)

Решая совместно уравнения (4.57) и (4.58), можно получить формулу связи между термонапряжениями в центре и на поверхности

, (4.64)

где относительный перепад температур получается путем вычитания из (4.60) уравнения (4.61)

(4.65)

в котором .

Из анализа этих уравнений следует, что динамика изменения напряжений во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fo_max­ = 0,05…0,50, а затем постепенно падают, т.е. носят колоколообразный характер.

На практике иногда важнее знать не всю динамику изменения напряжений во времени, а только их максимально возможные характерные величины, например, на поверхности и в центре тела. Целью данного раздела является аналитическое определение указанных величин для цилиндрических тел.