Цели и задачи планирования эксперимента
Планирование активного эксперимента
Основная цель планирования исследований – получение максимум информации при минимально возможных затратах на экспериментирования. Планирование эксперимента позволяет определять методику, количество и порядок проведения опытов, а также решать следующие задачи:
§ отсеивать малозначащие факторы при исследовании многофакторных процессов;
§ описывать неизвестный процесс полиномом (математической моделью);
§ систематизировать экспериментальный материал;
§ отыскивать оптимум процесса или технологии.
Математическое планирование базируется на активном эксперименте, который позволяет рационально распределять опытные точки в факторном пространстве, обеспечив этим высокую надежность конечных результатов при сравнительно малом количестве опытов. Пассивное экспериментирование требует значительного увеличения количества опытов (в 2-5 раз), но даже в этом случае надежность конечных зависимостей не всегда бывает высокой из-за случайного и нерационального распределения опытных точек в факторном пространстве.
|
|
Факторное пространство – абстрактное пространство, по координатным осям которого откладываются значения функции (параметра) – ось ординат, соответствующие значениям изменяемых факторов – ось абсцисс.
Для проведения серии активных экспериментов для любых задач выбирают стандартный план.
Планом эксперимента называется фиксированная последовательность опытов с определенными уровнями факторов. Стандартные планы для любого количества факторов приведены в специальной литературе [1,3,4,7].
Уровень фактора – это фиксированное значение фактора в стандартных единицах: минимальное значение –1, максимальное +1, среднее 0 (иногда просто -, +, 0). Соотношение между натуральными и стандартными значениями факторов определяются следующей формулой:
xi = (Нi - `Нi0) / J, (5.1)
где xi и Нi – кодированные (+1, –1, 0) и натуральные значения факторов, ` Н i0 – натуральное значение фактора на среднем (нулевом) уровне, J – интервал варьирования, равный полуразности максимального и минимального натуральных значений факторов.
Для получения линейной модели типа у = b0 + å bjxj (линейная часть полинома (4.1а)) необходим полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Количество опытов в плане, основанном на ПФЭ,
N = uk , (5.2)
где u – число уровней факторов, k – число факторов. Так как для получения линейной модели достаточно каждый фактор варьировать на двух уровнях (верхнем +1 и нижнем –1), то количество опытов в ПФЭ, согласно формуле (5.2), будет зависеть только от числа факторов k. Для двух факторов N = 22 = 4, для трёх N = 23 = 8 и т.д. Вид плана формируется простым перечислением всех возможных сочетаний уровней факторов. Например, план полного двухфакторного эксперимента для получения линейной модели будет выглядеть следующим образом:
|
|
N x1 x2 y
1 – 1 – 1 y1
2 + 1 – 1 у2 (5.3)
3 – 1 +1 y3
4 +1 +1 y4
каждая строчка плана представляет собой условия опыта (+1, – 1), а каждому опыту – своё значение параметра (функции у1 – у4). Полученный план реализуют – выполняют каждый опыт, соблюдая рандомизацию (случайность в выборе последовательности опытов) и получают параметры оптимизации, соответствующие каждому опыту.