Спектр атома водорода по Бору

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем, состоящих из ядра с зарядом и одного электрона (ионы , ), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе по стационарным круговым орбитам.

Решая совместно уравнение , вытекающие из планетарной модели Резерфорда, и уравнение для момента импульса стационарных орбит , получим выражение для радиуса -ой стационарной орбиты. Помножим правую и левую часть первого уравнения на :

.

Возведем обе части второго уравнения , в квадрат:

.

Из этих уравнений можно выразить значение радиуса:

, 1, 2, 3, …

Из этого выражения следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадрату целых чисел. Для водорода () радиус первой электронной орбиты () равен:

м,

что соответствует размерам атома, рассчитанным из молекулярно-кинетической теории газов.

Теперь подсчитаем полную энергию электронов, находящихся на стационарных орбитах. Полная энергия электрона складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра :

.

Учитывая уравнение и выражение для радиуса -ой орбиты , получим выражение для полной энергии в виде: .

Учитывая, что , окончательно получим:

.

Энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, меняющихся в зависимости от значения . Число , определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Состояние с называется основным, состояния с - возбужденными. Придавая различные целочисленные значения, получим для атома водорода () возможные уровни энергии.

Энергия атома водорода с увеличением возрастает (уменьшается ее отрицательная величина) и энергетические уровни сближаются с границе, соответствующей значению . Минимальная энергия атома водорода равна эВ при , максимальная энергия равна нулю при . Значение соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона).

Согласно второму постулату Бора при переходе атома водорода из стационарного состояния в состояние с меньшей энергией испускается квант с энергией:

.

Откуда частота излучения равна:

,

где .

Величина , рассчитанная по этой формуле, совпала с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирической формуле для атома водорода.

Подставляя и 2, 3, 4,… получаем серию Лаймана (переходы с возбужденных уровней на основной ). При подстановке 2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри.

Спектр поглощения атома водорода является также линейчатым, но содержит только серию Лаймана. Так как свободные атомы водорода находятся в основном состоянии, то при сообщении атомам энергии извне могут наблюдаться лишь переходы из основного состояния в возбужденные.

Таким образом, теория Бора позволила вычислить частоты спектральных линий атома водорода и водородоподобных систем, но не могла объяснить их интенсивности и почему вероятность различных переходов разная. Теория Бора не смогла объяснить спектр атома гелия, содержащего два электрона в поле ядра. Теория Бора содержит внутренние противоречия: она основывается на классической физике, но вводит квантовые постулаты. Теория Бора является переходной от классической физики к квантовой.

Лекция 11
Элементы квантовой механики