Постановка задачи. Численное интегрирование

Численное интегрирование

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой.

Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов

, (2.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой:

, (2.2)

где С_k - числовые коэффициенты, а x_{k Î} [ a, b ], k = 0, 1, …, n.

Приближенное равенство

(2.3)

называется квадратурной формулой, а x _k – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением

. (2.4)

В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов С_к , так и от расположения узлов х_к. Введем на отрезке [ a, b ] равномерную сетку с шагом h, тогда x_i = a + ih, где (i = 0, 1,..., n;
h·n = b-a). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(2.5)

Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [ a, b ] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [ x_i-1, x_i ] и воспользоваться формулой (2.5).