Определение. Проективная система координат на расширенной евклидовой прямой
называется системой однородных координат, если одна из базисных точек (
или
) несобственная. Обычно полагают
.
Замечание. Обычная система координат (афинных) на нерасширенной прямой p называется неоднородной. Она определяется двумя точками – началом координат и точкой
, координата которой равна единице.
Если , то
и
, где
– действительное число.
Таким образом, любая собственная точка нерасширенной прямой
имеет определённую координату
. В частности, точка
(начало координат) имеет нулевую координату. Координата несобственной точки неопределенна.
Преимущество однородной системы аффинных координат перед неоднородной состоит в том, что в однородной системе несобственная точка имеет определённые координаты. Как следует из примера 2 из §6 эти координаты равны , так как точка
порождается вектором
=
.
Координаты собственных точек расширенной евклидовой прямой определяются следующеё теоремой.
Теорема. Пусть на расширенной евклидовой прямой заданы:
|
|
1. Неоднородная аффинная система координат .
2. Однородная аффинная система координат , где
– несобственная точка,
(
совпадает с 0),
.
3. Произвольная собственная точка , имеющая в системе координат
координату
, а в системе координат
– координаты
).
Тогда: .
Доказательство:
Точки ,
и
порождаются соответственно векторами
и
. Так как согласно замечанию
, то имеем:
.
Отсюда или окончательно
так как точка
– собственная.
Теорема доказана.
Замечание. Несобственная точка имеет координаты
, то есть
.