Показатель эффективности в форме (1.4) является, наиболее общим. В зависимости от вида оценочной функции и функции соответствия ρ(Y (u), YTP) из (2.3) можно получить различные показатели эффективности.
Покажем это на примере «объективных» скалярных показателей, часто используемых при исследованиях эффективности технических систем.
С целью отличия случайной величины от ее возможного значения, когда это не ясно из контекста, над соответствующей буквой будем ставить символ Д. Например, — случайная величина, ρ — ее возможное значение.
Пусть цель операции описывается случайным событием А, наступление которого является желательным результатом операции. Комплекс условий, а следовательно, и вероятность Рu (А) наступления этого события зависят от стратегии u U. Функцию соответствия ρ в этом случае вводят как бернуллиеву переменную, которая может принять лишь два значения: 0 или 1, то есть 1, если событие А наступило; ρ(y(u), yTP) = 0 в противном случае.
Очевидно, при таком введении функции соответствия yTP=1. Вероятность события А есть математическое ожидание бернуллиевой переменной, или функции соответствия (1.6).
|
|
Действительно,
и, следовательно, показатель эффективности в форме (1.3) есть вероятность наступления события А:
.
Часто событие А выражается отношением между реальным результатом у (u) и требуемым yTP. Например, или . Функ-ции соответствия для этих событий вводятся следующим образом:
для события A1
, (1.7)
для события
Функцию соответствии (1.7) употребляют в случаях, когда требуемый результат задачи и его достижение являются непременным условием выполнения поставленной задачи. При этом показатель эффективности
(1.8)
трактуется как вероятностная гарантия (или степень гарантии) выполнения поставленной задачи. Например, если цель операции заключается в обеспечении повышения срока службы изделия до уровня не ниже требуемого i/TP, то показатель эффективности операции (1.8) есть степень гарантии или вероятность того, что срок службы изделия будет не менее требуемого. При известной функции распределения реального результата Fu (у) (1.8) записывают в следующем виде: .
На рис. 1.6 изображена функция распределения результата операции и показана вероятностная гарантия (вероятность Р {у (u) > уTP}).
Допустим, что имеет место некоторая неопределенность при установлении требуемого результата операций уTP. Если эта неопределенность нестохастического характера, то можно ввести функцию принадлежности µА(у) для нечеткого случайного события . В записи события А временная y(ω) является случайной величиной с функцией распределения Fu (у), но Утр есть неопределенная (временная нестохастического характера с функцией принадлежности µА(у)).
|
|
Рис. 1.6. Функция распределения результата операции. Вероятностная гарантия
Нечеткое случайное событие А введем следующим образом. Как известно из теории вероятностей, случайное событие А есть подмножество пространства элементарных событий Е, то есть A E. Предположим теперь, что А есть нечеткое подмножество Е (то есть А Е), заданное функцией принадлежности µА (для простоты будем пока рассматривать случай, когда Е не более чем счетно). Теперь каждому элементарному событию еi Е следует подставить в соответствие не только вероятность его наступления Р(еi), но и степень принадлежности еi подмножеcтву А, то есть µА(еi), (0<µА (еi)< 1). Чтобы найти вероятность наступления нечеткого случайного события А, следует по всем ei Е просуммировать произведения µА(еi) Р (еi), то есть
.
Эта запись есть математическое ожидание дискретной случайной величины µА. Таким образом, вероятность наступления нечеткого случайного события есть математическое ожидание функции принадлежности этого нечеткого события, то есть
. (1.9)
Если целью операции является достижение результата у (u) не ниже требуемого уровня при нечетком задании последнего, то функцию соответствия можно ввести по аналогии с (1.7):
(1.10)
и тогда
или в общем виде
.
Однако в качестве функции соответствия в этих условиях может быть использована и сама функция принадлежности, то есть
.
Она в определенном смысле эквивалентна (1.7).
В практике оценки эффективности операций приходится иногда учитывать случайный характер требуемого результата. Например, в качестве результата операции по повышению надежности технической системы можно потребовать, чтобы срок ее безаварийной работы был не менее периода времени активных работ с использованием этой системы.
Здесь срок безаварийной работы и период времени активных работ могут иметь случайный характер, то есть требуемый результат в этих условиях описывается случайной переменной yТР, которую обычно называют минимально необходимым результатом. Если yТР — случайная величина (числовая случайная переменная), то ее распределение вводят обычно с помощью функции распределения FH (у).
В случаях, когда целью операции является достижение результата y (u)
не ниже требуемого уровня yтр при случайном характере последнего, функцию соответствия можно ввести по аналогии с (2.6):
. (1.11)
Показатель эффективности
в рассматриваемых условиях представляет собой математическое ожидание функции соответствия (2.10) и является вероятностной гарантией того, что реальный результат будет не менее требуемого при случайном характере как реального, так и требуемого результатов.
Функция распределения FH (у) необходимого результата представляет собой условную вероятность события {yтр < у}, вычисленную в предположении, что реальный результат принял значение у (то есть наступило событие {у < y < y + dy}).
Таким образом,
,
но, очевидно,
,
где — функция распределения реального результата. Используя формулу полной вероятности, получим
. (1.12)
Здесь интегрирование проводится по всему пространству элементарных событий Е, на котором определены случайные величины y и yн.
При исследовании эффективности операций широко распространен показатель среднего результата, то есть
. (1.13)
Этот показатель используется в тех случаях, когда цель операции выражается числовой переменной. Очевидно, что (1.13) является частным случаем показателя (2.2), при котором функция соответствия равна реальному результату
.
Вводя показатель среднего результата и зная, например, диапазон изменения результата, исследователь может сравнить его значение с предельно большим значением.
|
|
Важным свойством показателя среднего результата является его аддитивность, то есть
. (1.14)
Если результат операции у(и) представим в виде суммы результатов действий подсистем , то средний результат операции равен сумме средних частных результатов, несмотря на возможную их стохастическую зависимость.
Если цель операции носит количественный характер, то в качестве показателя эффективности операции наряду с (1.8) может быть принят минимальный результат уα, получаемый с заданной вероятностью α, то есть
. (1.15)
Очевидно,
,
где — функция распределения реального результата операции (случайной величины .
Решив это уравнение относительно , получим
. (1.16)
Рис. 1.7. Функция распределения результата операции. Гарантированный результат
Здесь есть обратная функция к функции распределения при значении аргумента (1 — α) (квантиль распределения ). На рис. 1.7 изображена функция распределения результата операции и показан гарантированный результат (переход от (1 — α) к ).
При этом функция соответствия
(1.17)
есть величина неслучайная и ее математическое ожидание, следовательно, равно .
Таким образом, показатель эффективности в форме (2.2) имеет вид
. (1.18)
Этот показатель обычно называют вероятностно-гарантированным результатом. Требуемый результат косвенно отражает заданный (требуемый) уровень вероятности а (степень гарантии).
Иногда в качестве показателя эффективности в условиях, когда результат описывается случайной величиной, приходится использовать характеристику рассеяния (кучности) реального результата относительно требуемого значения или относительно своего математического ожидания. Функции соответствия в этом случае имеют вид
;
.
В первом случае показатель эффективности есть математическое ожидание квадрата уклонения реального результата от требуемого:
, (1.19)
а во втором случае – дисперсия реального результата:
. (1.20)
В практике исследований эффективности технических систем показатели (1.19) и (2Л 9) обычно используют как вспомогательные.
|
|
В качестве показателя эффективности операций, связанных, например, с распознаванием некоторых ситуаций, образов, объектов и т. п., теория статистических решений рекомендует выбирать средние потери (средний риск), которые появляются при неправильном (ошибочном) распознавании.
В этих задачах в качестве функции соответствия принимаются потери Пij, связанные с тем, что объект, принадлежащий множеству Hi, был ошибочно (при i ≠ j) отнесен к множеству Hj. Здесь, следовательно, функция соответствия имеет вид
.
Пусть Р (Hi) — вероятность того, что объект принадлежит множеству Hi; Рu(Hj/Hi) — условная вероятность отнесения объекта из множества Hi к множеству Hj (вероятность ошибки при i ≠ j)
Показатель эффективности операции по распознаванию объекта записывается в виде средних потерь (байесовский средний риск):
. (1.21)
И в этом случае показатель эффективности имеет форму (2.2), то есть является математическим ожиданием функции соответствия ρ = Пij.
Индекс u в записи условной вероятности Рu (Hj/Hi) показывает, что она зависит от стратегии распознавания u U.
Рассмотрим один из способов введения показателя эффективности для случая конфликтных ситуаций при наличии неопределенности в поведении оппонента. Пусть имеет место конфликтная ситуация, и на результат операции влияет не только выбор стратегии u U лицом, принимающим решение, но и выбор стратегии v оппонентом из известного множества его допустимых стратегий V. Таким образом, результат операции у (u, v) зависит от u U и u V. Функция соответствия, как и в предыдущих примерах, будет измерять степень соответствия реального результата операции требуемому:
.
При наличии случайных факторов введем математическое ожидание функции соответствия (условный показатель эффективности):
(1.22)
и выдвинем гипотезу поведения оппонента: он выбирает свои стратегии v £ V так, чтобы при любой стратегии ЛПР u U минимизировать степень соответствия реального результата операции желаемому для ЛПР (то есть интересы оппонента противоположны интересам ЛПР). В этих условиях в качестве показателя эффективности для ЛПР можно выбрать минимальное значение W (u, v) для каждой стратегии u U, то есть
. (1.23)
Эта форма показателя эффективности операции уже отличается несколько от (2.2). Однако функция соответствия р (у (u, v), уTP) в выражении (1.23) может принимать любой вид из тех, которые были рассмотрены в предыдущих примерах. Смысл показателя W (u) заключается в том, что он является гарантированным уровнем условного показателя W (u, v). При любой стратегии оппонента и фиксированной стратегии ЛПР W (u) ≤W(u,v),то есть W (u) является нижней границей среднего значения функции соответствия реального результата операции требуемому (для ЛПР).
Вопросы для самопроверки по разделу 1
1. Что называется системой?
2. Что такое эмерджентность?
3. Какие системы относятся к сложным?
4. В чем отличие сложных систем от простых?
5. Что обусловило привлечение методологических средств системного анализа для решения крупных научно-технических проблем?
6. Какие моменты включает понятие операция?
7. Дайте определение цели?
8. Что такое управляемая подсистема?
9. Что называется состоянием системы?
10. Что называется эффективностью операции?
11. Что понимается под потенциальной эффективностью?
12. Что понимается под фактором?
13. Какие факторы, определяющие эффективность операций в технике, вы знаете?
14. Какие качества сложной системы вы знаете?
15. Какие показатели эффективности вы знаете?
16. Какие критерии эффективности вы знаете?