Кроме рассмотренных выше элементарных суждений для математического описания предпочтений в моделях принятия решений используется универсальное их представление в виде отношений.
Отношение — это математическое понятие для обозначения подмножества прямого декартова произведения множеств.
Наиболее употребительными в практике принятия решений являются бинарные отношения, так как они хорошо связываются с традиционными способами выражения элементарных суждений.
Бинарным отношением R на множестве элементов D называется подмножество упорядоченных пар (a", d") множества DXD всех таких пар.
Символом DXD обозначают прямое декартово произведение. Элементами множества D могут быть, например, исходы операции (в этом случае D = G). Если декартово произведение состоит более чем из двух «сомножителей» (DXDXD, DXDXDXD,...), то его элементами являются упорядоченные тройки, четверки элементов и т. д. В этом случае принципиально можно рассматривать тернарные, те-трарные и другие отношения.
|
|
Бинарные отношения могут быть использованы для универсального описания связей между элементами различной природы: для описания связности электрических и информационных сетей, иерархических структур управления и т. п.
Бинарные отношения есть множества специального вида, поэтому их описание основывается на обычных способах задания множеств: перечислением элементов множества R, указанием общих свойств этих элементов, графом, матрицей смежности, подмножеством точек в декартовой системе координат.
Пример 2.3. Пусть R выражает мнение ЛПР о том, что частный показатель Wi не менее предпочтителен, чем показатель Wj, для векторного показателя W=(W1, W2, W3, W4), где W1 — покупательная способность; W2 — себестоимость; W3 — затраты; W4 — время на реализацию стратегии. ЛПР, например, считает, что увеличение покупательной способности не менее предпочтительнее снижения себестоимости и затрат, а снижение себестоимости, в свою очередь, не менее предпочтительнее снижения затрат (при условии, что затраты не превышают допустимой нормы); фактор времени при этом не менее важнее снижения себестоимости и затрат. В этом случае отношение R можно записать: R = {(Wi, Wj)\(W1, W1), (W1, W2), (W1 W3,), (W2, W2), (W2, W3), (W3, W3), (W4, W2), (W4, W3) (W4, W4)} — как прямое перечисление показателей, связанных введенным отношением; R= {(Wi, Wj)│Wi, Wj W; Wi не менее предпочтительнее (важнее), чем Wj}— как указание общих свойств элементов.
Это же отношение может быть представлено в виде графа, матрицы смежности и множеством точек в декартовой системе координат (соответственно случай а—в на рис. 2.1); направление стрелок на рис. 2.1, а соответствует направлениям рассматриваемого предпочтения между элементами, которые они связывают. Петли на графе обозначают тот факт, что элемент не менее предпочтителен самого себя.
|
|
С использованием указанных способов графического представления отношений весьма удобно анализировать их свойства.
а | б | в |
Рис. 2.1. Графическое представление бинарного отношения
«не менее предпочтителен (важен)»
Для формального описания свойств бинарных отношений обозначим: (d!, d") R или d'Rd" — если элементы d', d" связаны отношением R и (d', d") R или d' "| Rd" — если элементы не связаны отношением R.
Свойства бинарных отношений. Если для любого элемента d D выполняется условие (d, d) R, то отношение R рефлексивно (рис. 2.2, а).
Если для любой тройки элементов d, d', d" D удовлетворяется условие, что из (d, d') R и (d1, d") R следует, что (d, d") R, то такое отношение называется транзитивным (рис.2.2, е).
Отношение R называется симметричным, если из (d, d') R всегда следует (d't d) R (рис. 2.2, б).
Отношение R называется связным (линейным, полным), если для любых двух несовпадающих элементов (d, d') D справедливо хотя бы одно из двух утверждений: либо (d, d') R, либо (d', d) R. Каждое из свойств бинарных отношений может иметь «антипода». Например, отношение может быть несвязным (рис. 2.2, д).
Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация бинарного отношения
Рис. 2.3. Отношения эквивалентности и строгого частичного порядка
Если отношение R справедливо только для несовпадающих элементов из D, то оно называется антирефлексивным, то есть из (, d") следует, что d' не есть d".
Если отношение R не является симметричным, то в зависимости от природы элементов d D (числовые или нечисловые характеристики) вводятся свойства антисимметричности (для числовых) и асимметричности (для нечисловых).
Отношение R называется антисимметричным, если из (d, d') R и (d', d) R следует равенство d = d' (рис. 2.2, г).
Отношение R асимметрично, если из (d, d') R следует, что (d', d) R (рис. 2.2, в).
Дадим характеристику свойств бинарного отношения на примере рис. 2.2. Введенное отношение рефлексивно. Признаком этого является наличие петель на графе, единиц — на диагонали матрицы смежности. Отношение R несвязно (отсутствует стрелка между W1 и W4 на графе), транзитивно.
Кроме того, отношение R асимметрично (граф однонаправленный), область R в D на рис. 2.2, в геометрически несимметрична относительно диагонали.
Если бы отношение R рассматривалось только на элементах W1,W2, W3, то оно обладало бы свойствами рефлексивности, транзитивности и связности.
В теории принятия решений особое место занимают отношения, обладающие специальным набором указанных свойств. Это отношения эквивалентности, строго частичного порядка, квазипорядка и порядка.
Эквивалентностью называется симметричное, рефлексивное, транзитивное отношение. Это отношение имеет большое значение при формализации процессов и явлений (рис. 2.3, а). В математике оно связано с понятием разбиения множеств на классы. Если отношение R есть эквивалентность на множестве Dj, то элементы d и d' относятся к одному классу Dj разбиений тогда и только тогда, когда (d, d') R. И наоборот, если дано разбиение D на классы {Dj}, то пара (d, а") Dj эквивалентна.
Строгим частичным порядком называется антирефлексивное транзитивное отношение (рис. 2.3, б).
Квазипорядком называется рефлексивное и транзитивное отношение.
Порядком называется антисимметричное рефлексивное транзитивное отношение.
В примере 2.3 множество всех значений векторного показателя эффективности W=(W1, W2, W3, W4)разбивается на два класса: класс пригодных значений, для которого W120%; W2 5 %; W3 20 000 р. и W4 t0+ 12 месяцев (t0 — момент времени анализа альтернатив); класс непригодных значений, для которого не выполняется хотя бы одно из указанных условий.
|
|
В этом случае все альтернативы каждого класса эквивалентны, то есть в первом классе находятся все одинаково пригодные, во втором — все одинаково непригодные. Отношение эквивалентности R задается указанием общего свойства: «быть пригодным». Использование дополнительной информации о предпочтении, например, «Wi не менее предпочтительнее (важнее) Wj»,позволяет на выделенном классе пригодных альтернатив построить квазипорядок, который в данном случае оказывается несвязным (рис. 2.2). Если от ЛПР была бы получена информация типа: «Wi строго предпочтительнее Wj»и при этом она касалась бы любой пары альтернатив, то полученное на основе этой информации отношение было бы строгим частичным порядком, который обладает свойством антисимметричности (значения показателей — действительные числа). Для каждого из показателей Wiотношения эквивалентности и строгого частичного порядка показаны на рис. 2.3.
Каждое из рассмотренных элементарных суждений (как способ выражения предпочтений) может быть охарактеризовано с помощью свойств бинарных отношений.
Попарное сравнение в общем случае обладает только свойством рефлексивности. Поскольку сравнение элементов проводится только в парах без учета остальных элементов, свойство транзитивности выявленного отношения предпочтения, как правило, отсутствует, а так как допускается указывать на несравнимость элементов, то отсутствует и свойство связности. Например, при попарном сравнении ЛПР может указать, что увеличение покупательной способности W1предпочтительнее снижения себестоимости W2, а снижение себестоимости предпочтительнее снижения затрат W3(при попарном сравнении последних). Из этого еще нельзя заключить, что W1предпочтительнее W3,так как при их попарном сравнении ЛПР может даже указать, что снижение затрат предпочтительнее повышения покупательной способности. Такой случай называется нетранзитивностью в суждениях ЛПР. Это обстоятельство является одним из главных недостатков одного из самых простых способов выражения элементарных суждений.
|
|
Сортировка может задавать либо отношение эквивалентности, либо толерантности (рефлексивное, симметричное отношение) на предъявленном ЛПР множестве элементов. Так как среди предъявленных элементов ЛПР может уверенно отнести к тому или иному классу лишь элементы, субъективно «сильно» различающиеся между собой, а среди оставшихся есть «похожие», то транзитивность на границах между классами может нарушиться. В результате этого отношение становится только рефлексивным и симметричным, что является определенным недостатком сортировки. Такое отношение называется толерантностью.
Ранжирование задает отношение квазипорядка. Если ранжирование строгое, то выявленное отношение является строгим частичным порядком.
Способы балльного оценивания субъективных вероятностей и выражения предпочтения коэффициентами важности устанавливают отношение порядка на предъявленном множестве элементов.
Наиболее серьезными недостатками части элементарных суждений является отсутствие связности и транзитивности, что не позволяет осуществить однозначный выбор. В этом случае необходимо либо привлечь дополнительную информацию, раскрывающую неопределенность и неоднозначность суждений ЛПР, либо использовать ряд непротиворечивых гипотез для устранения указанных недостатков. В качестве определяющей гипотезы при выработке решения выдвигаются предположения о транзитивности и связности суждений ЛПР. Исходя из этой гипотезы, некоторое нетранзитивное отношение R можно аппроксимировать «ближайшим» к нему наименьшим транзитивным отношением R, включающим в себя R. Такая операция называется транзитивным замыканием отношения R, которое строится следующим образом:
где R 2 =RR – композиция отношения R;
R3 =R2R, R4 =R3R,…,
а композиция R2 определяется по правилу перемножения матриц смежности отношений R с заменой арифметических операций операциями булевой алгебры.
Пример 2.4. Построим транзитивное замыкание для примера 1, когда при попарном сравнении установлено, что W1 не менее предпочтительнее W2, a W2 не менее предпочтительнее W3. Указанное отношение несвязно и нетранзитивно. Матрица смежности этого отношения выглядит следующим образом:
W1 W2 W3
W1 1 1 0
R= W2 0 1 1
W3 0 0 1
Композиции отношения имеют вид
W1 1 1 1
R2 = W2 0 1 1
W3 0 0 1
W1 1 1 1
R3 = W2 0 1 1
W3 0 0 1
Так как R3 совпадает с R2, то композиции более высокого порядка искать не нужно. В этом случае транзитивное замыкание совпадает с R2, то есть появляется связь между элементами W1 и W3.
Потеря транзитивности, как правило, возникает в том случае, когда ЛПР не может четко выразить суждение об отношении на множестве элементов, что, например, при сортировке приводит к толерантности. В этом случае иногда применяют аппарат задания нечетких отношений предпочтений с использованием лингвистической переменной.