СМО с конечной очередью. СМО с отказами
СМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:
– заявка немедленно принимается на обслуживание, если в системе в данный момент находится k заявок и k<n;
– заявка становится в очередь, если п £ k<n+m;
– заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m. Следовательно, в любой момент времени система может находиться в одном из п+т+ 1 состояний, то есть множество состояний
Увеличение числа заявок в системе происходит только под воздействием потока заявок интенсивности l, а уменьшение числа заявок в системе — только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть
(k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок интенсивности k m).
Рис. 6.4. СМО с конечной очередью
Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью для п= 3, т= 2 изображен на рис. 6.5.
Для определения вероятностей состояний системы в формулы (6.8) и (6.9) подставим значения
|
|
и получим:
– для k £ n
;
– для k<n
.
Полагая в уравнении (6.9) N=n+m, находим:
(6.17)
Учитывая, что a 0/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометрической прогрессии со знаменателем r, находим:
. (6.18)
Из уравнения (6.8) находим вероятности состояний:
; (6.19)
. (6.20)
На основании формул (6.17) – (6.20) определим основные показатели эффективности системы.
1. Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть
(6.21)
Зная Ротк по формулам (6.11) – (6.13), можно вычислить абсолютную и относительную пропускные способности системы, среднее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.
2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на обслуживание),
. (6.22)
3. Средняя длина очереди
,
где Pn+r – вероятность того, что в очереди находится ровно r заявок (k=n+r).
Подставляя в полученное выражение Pn+r, находим:
; (6.23)
. (6.24)
4. Среднее время ожидания в очереди определяется как математическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в очереди находится r= 0, 1,..., т– 1 заявок, то она поступит на обслуживание после завершения обслуживания r+ 1 заявок, то есть
;
. (6.25)
Среднее время ожидания – это среднее время накопления очереди длиной L.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (6.14) и (6.15) с учетом формул (6.23) – (6.25).
Из полученных соотношений следует, что показатели Ротк, q, Nз, L, Y не зависят от конкретных значений l и m, а только от их соотношения a. Показатели напротив, чувствительны к изменению не только параметра a, но и к изменению l при a =const. Так, например, при увеличении l и m в два раза Ротк, q, nз и L не изменяются, Q увеличивается, а уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков заявок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улучшаются.
|
|