Наибольшее и наименьшее значения
Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.
2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.
3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Пример 2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .
Решение.
1.
; ;
точка стационарная; .
2. Границей данной замкнутой области является окружность или , где .
Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.
при x=0; (0,-3) и (0,3)- критические точки.
Вычислим значения функции на концах отрезка
|
|
[-3,3]:
3. Сравнивая между собой значения получаем,
- в точках Aи B.
- в точках C и D.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:
Решение. Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.
1. Находим стационарные точки внутри области:
; ; у = - 1/ 8; х = 1/ 8.
Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.
2. Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:
а) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .
б) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.
Тогда .
в) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию
;
; ;
.
Вычислим значение функции z в точке B(0,1).
.
3. Сравнивая числа получаем, что
- на прямой AB.
- в точке B.
Тесты для самоконтроля знаний.
1. Экстремум функции - это
а) ее производные первого порядка
б) ее уравнение
в) ее график
г) ее максимум или минимум
2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:
а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля
б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю
|
|
3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:
а) в стационарных точках
б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области
в) в точках, лежащих на границе области
г) во всех точках
4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:
а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля
в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю
г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля