Опр (Коши,1821) Пусть . Отображение
называется функцией комплексного переменного (ФКП).
Опр Пусть - предельная точка множества
. Число
называется пределом функции
в точке
, если
. Пусть
- предель ная точка множества
и
. Функция
называется непрерывной в точке
, если
.
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция определена в окрестности точки
и принимает значения в
. Тогда она непрерывна в точке
, если и только если отображение
непрерывно в точке
.
Пр ФКП непрерывна в области
, так как
непрерывна как функция двух вещественных переменных.
ТЕРЕМА 10.2 (критерий дифференцируемости ФКП в точке) Пусть функция комплексного переменного определена в окрестности точки
. Тогда равносильны утверждения: 1)
дифференцируема в точке
;
2) отображение дифференцируемо в точке
, удовлетворяет в ней уравнениям Коши-Римана:
,
.
ЗАМЕЧАНИЕ Уравнения Коши-Римана в полярной системе координат имеют вид .
СЛЕДСТВИЕ Если дифференцируема в точке
, то ее производную можно вычислять по формуле
.
____
Опр ;
(Эйлер, 1749,1762);
;
.
Опр Функция комплексного переменного называется целой, если она дифференцируема в каждой точке плоскости .
ТЕОРЕМА 10. 3 1) Функция целая
-периодическая и не имеет нулей в плоскости
.
2) Функции целые
-периодические и
.
3) Функция
дифференцируема в каждой точке из
кроме точек
; функция
дифференцируема в каждой точке из
кроме точек
;
4) Функция дифференцируема в каждой точке плоскости с разрезом
и является обратной к функции
в полосе
;
5) Функция , является дифференцируемой в плоскости с разрезом
;
6) Функция целая и не имеет нулей в
.
Пр 1 . Пр 2
.
____
Опр Функция комплексного переменного называется аналитической в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой
-окрестности
. Точка, в которой
не аналитическая, называется особой точкой функции.
Пр аналитическая в любой точке
кроме
.
Опр Функция называется аналитической (голоморфной) в области
, если она аналитична в каждой точке этой области.
ЗАМЕЧАНИЕ От греч. - целый +
- форма. Термин ввели Брио и Буке (середина ХIХ века). Термин «аналитическая функция» - Кондорсе.
Опр (Коши). Функция называется аналитической (голоморфной) на замкнутом множестве
, если она аналитична в некоторой области, содержащей
.
ЗАМЕЧАНИЕ (физический смысл аналитической функции) Пусть в материальной односвязной плоской области известна напряженность электростатического поля
, порождаемого зарядами, сосредоточенными на границе
. Тогда
существует аналитическая в функция
, которая называется комплексным потенциалом электростатического поля, и которая обладает свойствами:
1) ; 2) линии уровня
совпадают с силовыми линиями этого поля; 3) линии уровня
совпадают с эквипотенциальными
линиями поля.