Определение (Коши, 1825) Пусть есть кусочно гладкая кривая в области
, и
- непрерывная функция комплексного переменного. Разобьем кривую точками
, выберем точки
. Образуем интегральную сумму
,где
. Обозначим
диаметр разбиения кривой
. Интегралом от ФКП
на кривой l называется конечный предел
.
ТЕОРЕМА 10.4 (свойства интеграла)
1) Если ФКП непрерывна в односвязной области
, то равносильны утверждения:
а) голоморфна в
; б) для любой спрямляемой кривой
интеграл
зависит
только от ее концов; в) для любого замкнутого спрямляемого контура .
2) (теорема Коши для сложного контура) Пусть граница -связной области
состоит из внешней
и
штук внутренних
кусочно гладких замкнутых жордановых кривых. Обход каждой из кривых выбран так, чтобы область
оставалась слева. Если
аналитическая на
, то
.
3) (формула Коши) Если аналитическая в точке
, то
.
Пр . При
ЗАМЕЧАНИЕ (способы вычисления интегралов от ФКП)
1), то есть с помощью КИВР.
2) Если - кусочно гладкая кривая, то
, то есть с помощью интеграла от КЗФ.
|
|
3) Если голоморфна в односвязной области
и
- первообразная этой функции, то
, то есть с помощью формулы Ньютона-Лейбница.