Литература
1. Подбельский В.В. Язык Cu ++: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика,1995, - 560 с.
2. Страуструп Б. Язык программирования Сг ++. - М.: Радио и связь, 1991. - 352 стр.
3. Собоцинский В.В. Практический курс Turbo Cu ++. Основы объктно- ориентированного программирования. - М.: Свет, 1993. - 236 с.
4. Романов В.Ю. Программирование на языке Cu ++. Практический подход. - М.: Компьтер, 1993. - 160 с.
5. Уинер Р. Язык турбо Cu. - М.: Мир, 1991. - 384 с.
6. Юлин В.А., Булатова И.Р. Приглашение к Cu. - Мн.: Высш. Шк., 1990,- 224 с.
7. Котлинская Г.П., Галиновский О.И. Программирование на языке Cu. -Мн.: Высш. Шк., 1991. - 156 с.
Опр ОДУ вида или вида называется ОДУс разделяющимися переменными. ОДУ вида или вида называется ОДУс разделенными переменными.
ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:
, .
_____
Опр Функция называется однородной функцией степени , если
.
Пример - однородная функция нулевой степени;- однородная
функция степени .
Опр ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные функции одинаковой степени.
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен ными, если зависимую переменную заменить на по формуле .
_____
Опр ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.
ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными .
.
2) Решение исходного уравнения ищем в виде , считая в предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную постоянную ). Для нахождения подставим это решение в
исходное уравнение:. После сокращения получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения .
Пример Пусть в фильтре нижних частот входное напряжение изменяется по синусоидальному закону: . Тогда уравнение фильтра нижних частот имеет вид . Так как решение соответствующего однородного уравнения равно , то частное решение ищем в виде. находим из уравнения с разделяющимися переменными
где . Тогда падение напряжения на конденсаторе изменяется по закону .
С течением времени второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому будет меняться периодически. Его амплитуда , очевидно, мала для больших (верхних) значений частот , что и объясняет название фильтра.
____
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению
ОДУ первого порядка с помощью замены на зависимую переменную .
Первое очевидное. Докажем второе. .
|
|
Пример (Уравнение колебаний математического маятника).
Материальная точка массы подвешена на нерастяжимой нити длины . На неё действуют две силы: вертикальная сила тяжести и сила реакции нити. Запишем закон колебаний маятника в виде
,
где - угол его отклонения от положения равновесия в момент времени. Равнодействующая этих сил направлена по касательной к маятнику и потому второй закон Ньютона для него имеет вид
Продифференцируем первую систему два раза
.
И мы вывели уравнение колебаний математического маятника
Это ОДУ второго порядка. Понизим его порядок с помощью замены
.
В крайнем левом положении маятника по физическому смыслу имеем
.