Тема 3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Заключение

Форма и виды соучастия позволяют индивидуализировать уголов­ную ответственность в зависимости от роли и степени общественной опасности каждого соучастника преступления. В большинстве случаев за совершение преступления в составе группы, организованной группы или преступного сообщества степень общественной опасности преступ­ного посягательства возрастает, как бы «усиливается» криминальный эффект такой деятельности, в результате чего законом предусмотрено более строгое наказание.

Установление и закрепление роли каждого соучастника позволяют правильно квалифицировать преступные деяния и индивидуализиро­вать ответственность за них.

Л И Т Е Р А Т У Р А:

Основная:

1. УК РФ, ст.ст. 31-36, 63 ч.1 ("в","д"), 67, 105 ч.2 ("ж"), 316.

3. Постановления Пленума Верховного Суда РСФСР (РФ):

а) № 6 от 10 февраля 2000 г. "О судебной практике по делам о взяточничестве и коммерческом подкупе" II Бюллетень Верховного Суда РФ. 2000. N 4.

б) № 1 от 27 января 1999 г. "О судебной практике по делам об убийстве (ст. 105 УК РФ)" // Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. N 3.

в) № 11 от 15 июня 2004 г. "О судебной практике по делам о преступлениях, предусмотренных ст.ст. 131 и 132 УК РФ" // Бюллетень Верховного Суда РФ. 2004. N 7.

г) № 29 от 27 декабря 2002 г. «О судебной практике по делам о краже, грабеже и разбое»// Бюллетень Верховного Суда РФ. 2003. № 2.

4. Галиакбаров Р.Р. Борьба с групповыми преступлениями. Вопросы квалификации. - Краснодар, 2000.

5. Гаухман Л.Д. Соучастие в преступлении по советскому за­конодательству (опыт сравнительного правоведения): Лекция. - М.: Академия МВД СССР, 1990.

6. Григорьев В.А. Соучастие в преступлении по уголовному праву РФ: Учебное пособие. - Уфа: УВШ МВД РФ, 1995.

7. Хабибуллин Ш.Х. Ответственность за укрывательство по со­ветскому уголовному праву. - Казань, 1984.

8. Сборник задач.

Дополнительная:

1.Быков В.М., Самохина А.В. Виды организаторов преступлений по уголовному кодексу РФ 1996 г. // Следователь. 1999. N 9. С. 2-4.

2.Быков В.Н. Что же такое организованная преступная группа? // Российская юстиция. 1995. N 10.

3.Волженкин Б. Некоторые проблемы соучастия в преступлениях, совершаемых специальными субъектами // Уголовное право. 2000. N 1. С. 12-16.

4.Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 3.

5.Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 8.

6.Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 2. С. 18.

7. Бюллетень Верховного Суда СССР. 1976. № 4. С. 46.

8.Бюллетень Верховного Суда РСФСР. 1989. № 2. С. 2.

9.Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 12. С. 4.

10. Бюллетень Верховного Суда РФ. 1995. № 10. С. 4.

11.Бюллетень Верховного Суда РФ. 2000. № 4.

12.Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 17. С. 13; 2000. № 5. С. 8—9.

13.Борзенков Г. Н. Организованная преступность и уголовный закон. Материалы дискусси­онного клуба "Теневая экономика и организованная преступность" // Вести. Моск. ун-та. Сер. 11. Право. 1990 г. № 4. С. 64.

14.Володько Н.П. Уголовно-правовая борьба с организованной преступностью: Научно-практическое пособие. - М., 2000.

15. Гальперин И. Организованная преступность, коррупция и уголовный закон. // Соц. законность. 1989. N 4.

16. Галахова А.В. Практика применения уголовного закона о соучастии // Сов. юстиция. 1980. N 5.

17. Гринберг М.С. Соучастие в неосторожных преступлениях // Сов. государство и право. 1990. N 8.

18. Гукаев А. Эксцесс исполнителя // Сов. юстиция. 1989. N 16.

19.Гальперин И. М. Организованная преступность, коррупция и уголовный закон // Социалистическая законность. 1989. № 4. С. 35;

20. Галимов И. Г., Сундуров М. Ф. Организованная преступность: тен­денции, проблемы, решения. Казань, 1998. С. 33.

21. Гаухман Л. Д., Максимов С. В. Уголовная ответственность за орга­низацию преступного сообщества. М.: ЮрИнформ, 1997. С. 10.

22.Гришко Е. Понятие преступного сообщества (преступной организации) и его место в институте соучастия // Уголовное право. 2000. N2.17-20.

23.Галиакбаров Р. Р. Борьба с групповыми преступлениями. Вопросы квалификации. Крас­нодар, 2000. С. 9

24.Галиакбаров Р. Р. Борь­ба с групповыми преступлениями. С. 41.;25.

25.Галиакбаров Р. Р. Юридическая природа группы лиц в уголовном праве // Советская юстиция. 1970. № 20. С. 21—22.

26.Галиакбаров Р. Р. Квалификация многосубъектных пре­ступлений без признаков соучастия. Хабаровск, 1987. С. 67; он же: Борьба с групповыми преступлениями. С. 39—42;

27.Жиряев О. С. О стечении нескольких преступников в одном преступ­лении. Дерпт, 1850.

28.Звечаровский И. Совершение преступления в соучастии: проблема квалификации // Законность. 1999. N 11. С. 31-32.

29.Иванов В. Добровольный отказ от совершения преступления при соучастии // Сов. юстиция. 1992. N 21-22.

30. Иванов Н.Г. Организованная преступность и институт соучастия // Соц. законность. 1990. N 10.

31.Иванов Н.Г. Групповая преступность: содержание и вопросы законодательного регулирования // Государство и право. 1996. N 9.

32.Иванов Н.Г. Понятие и формы соучастия в советском уголовном праве: Онтологический аспект. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1981.

33.Иванов Н. Г. Понятие и формы соучастия в советском уголовном праве. Саратов: Изд-во СГУ, 1991. С. 120—121.

34.Иванов Н. Г. Понятие и формы соучастия в советском уголовном праве. Саратов, 1991. С. 44.

35.Иванов В. Д., Мазуков С. X. Соучастие в преступлении. Ростов-на-Дону, 1999. С. 17.

36. Козаченко И.Я., Курченко В.Н. Соисполнительство и по­собничество: вопросы разграничения // Российский юридический журнал. 1994. N1.

37. Коновалов В. Что такое организованная преступная группа? // Законность. 1993. N8.

38.Колоколов Г. Е. Уголовное право. Лекции. М., 1896. С. 412.

39.Ковалев М. И. Соучастие в преступлении. С. 110;

40.Корольков И. Кровавый передел // Известия. 1995. 28 апр.

41.Козлов А. П. Новое уголовное законодательство по УК РФ 1996 г. По­нятие преступления. Соучастие. Назначение наказания. Красноярск, 1997. С. 13—14.

42.Ковалев М. И. Соучастие в преступлении. Ч. 2 //Ученые труды Сверд­ловского юридического института. Свердловск, 1962. С. 199—200.

43.Лунеев В. В. Организованная преступность в России: осознание, истоки, тенденции // Государство и право. 1996. № 4. С. 97.

44. Нерсесян В., Нерсесян А. Неосторожное сопричинение и его уголовно-правовое значение // Сов. юстиция. 1988. N 24.

45. Осин В. Что мешает борьбе с организованной преступностью? // Законность. 1995. N7.

46. Основы борьбы с организованной преступностью. М.: Инфра,М, 1996.

С. 10.

47.Оечинский В. С. Стратегия борьбы с мафией. М., 1993. С. 169;

48. Осин В. Преступление совершено организованной группой // Российс­кая юстиция. 1995. № 5. С. 23.

49. Преступность и правонарушения. 1996. Статистический сборник. М., 1997. С. 38;

50. Преступность и правонарушения. 1998. Статистический сборник. М.,

1999. С. 41;

51. Пионтковский А. А. Учение о преступлении по советскому уголовного праву. М., 1961;

52.Пленум Верховного Суда РФ в п. 9 постановления от 14 февраля 2000 г. № 7 "О судебной практике по делам о преступлениях несовершеннолет­них".

53.Разгильдиев Б.Г. Уголовно-правовые проблемы прикосновен­ности к преступлению. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1981.

54.Российское уголов­ное право. Курс лекций. Том 1. Владивосток, 1999. С. 491.

55.Российское уголовное право. Курс лекций. Т. 1. С. 494;

56. Рарог А. И., Нерсесянц В. А. Неосторожное сопричинение и его уголовно-право­вое значение // Законодательство. 1999. № 12. С. 71—77.

57. Рарог А. И., Нерсесянц В. А. Указ. соч. С. 75;

58.Российское уголовное право. Курс лекций. Т. 1. Владивосток, 1999. С. 515;

59. Сборник постановлений Пленумов Верховных Судов СССР и РСФСР (Российской Федерации) по уголовным делам. М., 1999. С. 20—21.

60. Состояние преступности в России за январь—декабрь 1999 года. М.,

2000. С. 21.

61.Сухарев В., Куликов А. Соучастие в преступлениях с двойной формой вины // Сов. юстиция. 1991. N 20.

62. Таганцев Н. С. Русское уголовное право. Лекции. Часть Общая. Т. 1. М., 1994. С. 329.

63.Тельное П. Ф. Ответственность за соучастие в преступлении. М., 1974. С. 18—19.

64.Тельное П. Ф. Ответственность за соучастие в преступ­лении. М., 1974. С. 52;

65. Трайнин А. Н. Учение о соучастии. М., 1941. С. 112.

66.Трайнин А. Н. Учение о соучастии. М., 1941. С. 79.

67. Уголовное право России. Учебник для вузов. Том 1. Общая часть. М., 2000. С. 227—228.

68.Уголовное право России. Часть Общая. М., 1999. С. 240;

69.Уголовное право. Общая часть. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 190;

70.Уголовное право Российской Федерации. Общая часть. М.: Юрист, 1996. С. 266.

71. Уголовное право России. Учебник для вузов. Том 1. Общая часть. М.: НОРМА, 2000. С. 236.

72. Хачатуров Р. Л. Источники права. Выпуск третий. То­льятти, 1997. С. 12.

73. Шаргородский М. Д. Вопросы Общей части уголовного права. Л.:

Изд-во ЛГУ, 1955. С. 143.

74. Шаргородский М. Д. Некоторые вопросы общего учения о соучас­тии // Правоведение. 1960. № 1. С. 85.

[1] См.: Жиряев О.С. О стечении нескольких преступников одном преступлении. Дерпт, 1850.

[2] См.: Колоколов Г.Е. Уголовное право. Лекции. М., 1896. С.412.

[3] См.: Бурчак Ф.Г. Соучастие: социальные, криминологические и правовые проблемы. Киев, 1986. С. 126).

[4] См.: Таганцев Н.С. Русское уголовное право. Лекции. Часть Общая. Т.1. М., 1994. С. 329.

[5] См.: Хачатуров Р.Л. Источники права. Выпуск третий. Тольятти, 1997. С. 12.

[6] См.: Вышинский А.Я. Вопросы теории государства и права. М.: Госюриздат, 1949. С. 117.

[7] См.: Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. С. 93.

[8] Уголовное право России. Учебник для вузов. Том 1. Общая часть. М., 2000. С. 227-228.

[9] См.: Иванов Н.Г. Понятие и формы соучастия в советском уголовном праве. Саратов, 1991. С. 44

[10] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 3.

[11] См.: Ковалев М.И. Соучастие в преступлении. Понятие соучастия//Свердловский юридический институт. Ученые труды. Т. 3. 1960 С. 111, 166-169. Уголовное право. Общая часть. М.: Норма-Инфра. М., 1997. С. 230-231.

[12] См.: Наумов А.В. Уголовное право. Общая часть. Курс лекций. М., 1996.С. 308-313.

[13] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Соучастие по уголовному праву. М., 1959. С. 172-173; Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. с. 67-72; Курс советского уголовного права. Т. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, С. 588-591.

[14] См. п 18 постановления Пленума Верховного Суда РФ от 10.02.2000Г. № 6 «О судебной практике по делам о взяточничестве и коммерческом подкупе».

[15] См.: Шаргородский М.Д. Некоторые вопросы общего учения о соучастии//Правоведение. 1960. № 1. С. 85.

[16] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ соч. С. 3

[17] См.: Уголовное право России. Часть Общая. М., 1999. С. 240; Галиакбаров Р.Р. Борьба с групповыми преступлениями. Вопросы квалификации. Краснодар, 2000. С. 9.

[18] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 8.

[19] См.: Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. С. 102-109.

[20]См.: Таганцев Н.С. Указ. Соч. С. 326-336; Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ. Соч. С. 13, 17, 33; Иванов Н.Г. Указ. Соч. С. 53; Наумов А.В. Указ соч. С. 288; С. 495-499.

[21] См.: п. 19 указанного постановления от 22.03.1966г.

[22] См.: Галиакбаров Р.Р. Юридическая природа группы лиц в уголовном праве//Советская юстиция. 1970. № 20. С. 21-22.

[23] Наумов А.В. Указ соч. С. 293-294.

[24] Кригер Г.А. Квалификация хищений социалистического имущества. М., 1971. С. 243-244

[25] См.: Пленум Верховного Суда РФ п. 9 постановления от 14.02.2000г. № 7 «О судебной практике по делам о преступлениях несовершеннолетних», согласно которому совершение преступления с использованием лица, не подлежащего уголовной ответственности в силу возраста(ст. 20 УК РФ)или невменяемости (ст. 21 УК РФ), не создает соучастия.

[26] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 2. С. 18

[27] См.: Бюллетень Верховного Суда СССР. 1976. № 4. С. 46.

[28] Тельнов П.Ф. Ответственность за соучастие в преступлении. М., 1974. С. 52; Иванов Н. Указ. Соч. С. 89; Ковалев М.И. Указ соч. С. 234.

[29] Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ. Соч. С. 44; Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. С. 109; Кузнецова Н.Ф. Указ. Соч. С. 200.

[30] См.: Бюллетень Верховного Суда РСФСР. 1989. № 2. С. 2

[31] Трайнин А.Н. Учение о соучастии. М., 1941. С. 112.

[32] Шаргородский М.Д. Вопросы Общей части уголовного права. Л.: Изд-во ЛГУ, 1955. С. 143.

[33] Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ соч. С. 33-40; Ковалев М.И. Указ. Соч. С. 116.

[34] См.: Согласно ст. 20 УК Республики Польша: «Каждый из соучастников в совершении запрещенного деяния подлежит ответственности в пределах своего умысла или неумышленной вины независимо от ответственности остальных соучастников».

[35] См.: Галиакбаров Р.Р. Квалификация многосубьектных преступлений без признаков соучастия. Хабаровск, 1987. С. 67. Рарог А.И., Нерсесянц В.А. Неосторожное сопричинение и его уголовно-правовое значение//Законодательство. 1999. № 12. С. 71-77.

[36] См.: Рарог А.И., Нерсесянц В.А. Указ. Соч. С. 75; Галиакбаров Р.Р. Борьба с групповыми преступлениями. С. 41.

[37] См.: Рарог А.И., Нерсесянц В.А. Указ. Соч. С. 76-77; Крылова Н.Е., Серебреникова А.В. Уголовное право современных зарубежных стран. М., 1997. С. 107-113.

[38] См.: Козлов А.П.Новое уголовное законодательство по УК РФ 1996г. Понятие преступления. Соучастие. Назначение наказания. Красноярск, 1997. С. 13-14.

[39] См.: Сборник постановлений Пленуиов Верховных Судов СССР и РСФСР (Российской Федерации) по уголовным делам. М., 1995. С. 92.

[40] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 2000. № 4.

[41] Бюллетень Верховного Суда РФ. 2000. № 7.С. 13.

[42] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ соч. С. 140;

[43] См.: Пленум Верховного Суда РФ п. 9 от 14.02.2000г. № 7.

[44] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1994. № 1. С. 4.

[45] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1994. № 9. С. 5.

[46] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 12. С. 4.

[47] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1995. № 10. С. 4.

[48] См.: п. 3 разд. 18 Свода законов США.

[49] См.: Сборник постановлений Пленумов Верховных Судов СССР и РСФСР(РФ) по уголовным делам. М., 1995. С. 24.

[50] См.: Бюллетень Верховного Суда РСФСР. 1985. № 7. С. 12.

[51] См.: Ковалев М.И. Указ. Соч. С. 248; Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. С. 153.

[52] См.: Трайнин А.Н. Учение о соучастии. М., 1941. С. 79.

[53] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ. Соч. С. 63.

[54] См.: Ковалев М.И. Соучастие в преступлении. Ч. 2 //Ученые труды Свердловского юридического института. Свердловск, 1962. С. 199-200.

[55] См.: Бурчак Ф.Г. Указ. Соч. С. 124.

[56] См.: Ковалев М.И. Уголовное право. Общая часть. М.: Норма- Инфра.М., 1997. С. 252.

[57] См.: п. 3 ст. 26 УК КНР «Главным преступником признается организатор, руководитель преступной группы…».

[58] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1997. № 5. С. 16.

[59] См.: Советское уголовное право. Общая часть. М.: Юристь, 1996. С. 266.

[60] См.: Тельнов П.Ф. Ответственность за соучастие в преступлении. М., 1978. С. 38.

[61] См.: Уголовное право. Общая часть. М.: Изд-во МГУ, 1993. Российское уголовное право. Общая часть/ Под ред. В.Н.Кудрявцева и А.В. Наумова. М., 1997. С. 205-206.

[62] См.: Галиакбаров Р.Р. Борьба с групповыми преступлениями. С. 16.

[63] См.: Наумов А.В. Указ. Соч. С. 299; Иванов В.Д., Мазуков С.Х. Соучастие в преступлении. Ростов- на-Доне, 1999. С. 15.

[64] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ. Соч. С. 68.

[65] См.: Советское уголовное право. Особенная часть. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 109.

[66] См.: Иванов Н.Г. Понятие и формы соучастия в советском уголовном праве. Саратов: Изд-во СГУ, 1991. С. 120.121.

[67] См.: Бюллетень Верховного Суда РСФСР. 1984. № 7

[68] См.: Бюллетень Верховного Суда РСФСР. 1990. № 5 1994. № 1

[69] См.: Галиакбаров Р.Р. Указ. Соч. С. 19; Уголовное право России. Учебник для вузов. Том1. Общая часть. М.: Норма, 2000. С. 236.

[70] См.: Уголовное право РФ. Общая часть. М.:Юристь, 1999. С.256;

[71] Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 3; 2000. № 7. С. 13; 1999. № 12. С. 4.

[72] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 2000. № 7. С. 14.

[73] Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 17. С. 13; 2000. № 5. С. 8-9.

[74] См.: Таганцев Н.С. Указ соч. С. 335.

[75] См.: Лунев В.В. Организованная преступность в России: осознание, истоки, тенденции//Государство и право. 1996. № 4 С. 97.

[76] См.: Сборник постановлений Пленумов Верховных Судов СССР и РСФСР(РФ) по уголовным делам. М., 1999. С. 20-21.

[77] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1997. № 3. С.2.

[78] См.: Галиакбаров Р.Р. Борьба с групповыми преступлениями. Вопросы квалификации. Краснодар, 2000. С. 20-21.

[79] См.: Лунеев В.В. Организованная преступность в России: осознание, истоки, тенденции//Государство и право. 1996. № 4. С. 97.

[80] См.:Основы борьбы с организованной преступностью. М.: Инфра.М, 1996. С. 10.

[81] См.: Галимов И.Г., Сундуров М.Ф. Организованная преступность: тенденции, проблемы, решения. Казань, 1998. С. 33, С. 125.

[82] См.: Галимов И.Г., Сундуров М.Ф. Организованная преступность: тенденции, проблемы, решения. Казань, 1998. С. 33, С. 125.

[83] См.: Организованная преступность.м., 1989. С. 302, 306, 320, 334; Овчинский В.С. Стратегия борьбы с мафией, М., 1993. С. 169.

[84] См. Гальперин И.М. Организованная преступность, коррупция и уголовный закон//Социалистическая законность. 1989. № 4.С. 35

[85] См.: Никулин С.И. Достаточно ли правовых средств в борьбе с организованной преступностью?//Социалистическая законность. 1989. № 2. С. 50-51.

[86] См.: Организованная преступность. Проблемы, дискуссии, предложения «Круглый стол». М., 1989. С. 297.

[87] См.: Организованная преступность. Проблемы, дискуссии, предложения. «Круглый стол».М., 1989. С. 125.

[88] См.: Гришаев П.И., Кригер Г.А. Указ. Соч. С. 84;

[89] Постановление Пленума Верховного Суда РСФСР «О судебной практике по делам о вымогательстве» от 4 мая 1990г.(с последующими изменениями).

[90] См.: Гаухман Л.Д., Максимов С.В. Уголовная ответственность за организацию преступного сообщества. М.: ЮрИнформ, 1997, 1997. С. 10.

[91] См.: Корольков И. Кровавый передел//Известия. 1995. 28 апр.

[92] См.: Ковалев М.И. Уголовное право. Общая часть. С. 259.

[93] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1999. № 7. С. 7-8.

[94] См.: Бюллетень Верховного Суда РФ. 1994. № 5. С. 6.

[95] Сборник постановлений Пленумов Верховных Судов СССР и РСФСР(РФ) по уголовным делам. М., 1995. С. 311.

[96] См.:Трайнин А.Н. Учение о соучастии. М., 1941. С. 124-127.

[97] См.: Дурманов Н.Д. Стадии совершения преступления по советскому уголовному праву.М, 1955.

[98] См.: Уголовное право Российской Федерации. Общая часть. М.: Юрист, 1996. С. 277.

[99] См.: Уголовное право. Общая часть М.: Норма- Инфра.М, 1997. С. 260.

[100] См.: Уголовное право России. Учебник для вузов. Том 1. Общая часть. М.: Норма, 200. С. 248-249.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке :

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и при .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

. (2)

Выражения и называют частными дифференциалами.

Для независимых переменных и полагают и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

. (3)

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , .

Равенство (1) можно записать в виде

, (4)

где при .

Отметим, что обратное утверждение не верно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Например, непрерывная функция не дифференцируема в точке .

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

(5)

или

,

где – частные дифференциалы функции .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (5).

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила вычисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство

(6)

Так как полное приращение , равенство (6) можно переписать в следующем виде:

(7)

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т.д.