2014-02-24
18201.59
Правило Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и,. Тогда если существует предел отношения производных функций, то существует предел отношения самих функций, причем они равны между собой, т.е..
Доказательство:
Доопределим f(x) и g(x) в точке x0, положив
f(x0) = g(x0) = 0.
В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что
, т.к. f(x0) = g(x0) = 0.
Перейдем к пределу при x x0 с x0:
.
Ч.т.д.
Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.
Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя, т.е. справедливо следующее утверждение:
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем. Пусть,. Тогда если существует предел отношения производных функций, то существует предел отношения самих функций, причем они равны между собой, т.е..
|
|
|
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа,.
Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или, то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или, нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
.
.
Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).
.
Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или, опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
.
= = =(0×¥)= = = =
= =0;
Þ A=e0=1.
Вопросы для самоконтроля.
1. Сформулировать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
2 Привести геометрическую интерпретацию теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.
2. Сформулировать для различных случаев правило Лопиталя.
Задачи для самоконтроля.
1. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
а); б); в).
2. Разложить по формуле Тейлора функцию в точке для случая n=4.
Решение типовых задач.
|
|
|
Задача. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
а)
.
б).
3. Назовите следующие соединения:
4. Расположите приведенные вещества в порядке уменьшения кислотных свойств: о-крезол, п-бромфенол, 2,4,6-тринитрофенол, фенол. Дайте объяснения.
5. Составьте уравнения реакций в соответствии со схемами превращений, назовите исходные вещества и продукты:
б)
в) пропанол-1 → 1-бромпропан → н-гексан → бензол → изопропилбензол → фенол
г) составьте уравнения реакций получения из бензола о-крезола
д) составьте уравнения реакций получения из бензола метилфенилового эфира (метоксибензола)
е) Напишите уравнения реакций щелочного гидролиза следующих соединений: а) хлорбензол; б) о-нитрохлорбензол; в) 2,4,6-тринитрохлорбензол
6. Какая масса фенолята натрия может быть получена при взаимодействии фенола массой 4,7 г с раствором гидроксида натрия объемом 4,97 мл плотностью 1,38 г/ мл? Массовая доля гидроксида натрия в растворе составляет 35%.
7. При действии избытка натрия на смесь этанола и фенола выделилось 6,72 л водорода (н. у.). Для полной нейтрализации этой же смеси потребовался раствор объёмом 25 мл (р = 1,4 г/мл) с массовой долей гидроксида калия 40%. Определите массовые доли веществ в исходной смеси.
Литература:
1. Н.А.Тюкавкина Органическая химия, 1989 С. 154-163
2. Н.А.Тюкавкина Органическая химия, 2002 г. С. 178-190
3. ОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. Основной курс. Кн.1. Под ред. Н.А. Тюкавкиной С. 363-385
