Основные свойства преобразования Фурье

1. Преобразования Фурье линейны.

Если u (t) + u ₁(t) + u₂(t) +…, то S (j Ω) = S ₁(j Ω) + S ₂(j Ω) +…, то есть спектр суммы сигналов равен сумме спектров сигналов, образующих суммарный сигнал.

Если u ₁(t)= а u (t), где а =const, то S ₁(j Ω)= а S (j Ω), где S ₁(j Ω) и S (j Ω) – спектральные характеристики сигналов u ₁(t) и u (t).

2. Сдвиг сигналов во времени.

Пусть S (j Ω) – спектральная характеристика некоторого непериодического сигнала u (t). Очевидно, что сигнал u (t–Т) повторяет все значения сигнала u (t) со смещением во времени на интервал Т. Если Т>0, то функция u (t–Т) является запаздывающей по отношению к u (t), а при Т<0 – опережающей.

Спектральная характеристика S_Т (j Ω) сигнала u (t–Т) отличается от спектральной характеристики S (j Ω) сигнала u (t) только по фазе на величину Ω Т, а именно

.

3. Смещение спектра сигнала.

Применим преобразование Фурье к произведению .

Первый интеграл в правой части уравнения есть спектральная характеристика сигнала u (t) при частоте (Ω–ω₀), а второй – при частоте (Ω+ω₀). Пусть начальная фаза φ₀=0, то есть . Тогда

^,

где S (j Ω) – спектральная характеристика сигнала u (t).

Из последнего выражения следует, что при умножении произвольного сигнала u (t) на гармонический сигнал cos ω ₀ t спектр сигнала u (t) расщепляется на две части.

Это свойство лежит в основе модуляции сигналов.