Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения, если её плотность вероятности имеет вид:
, где и - параметры распределения.
Параметры и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины, т.е.
, .
Отсюда .
В частном случае при .
Рассмотрим график этой функции (рис. 5.2).
1) Кривая пересекает ось в точке . Она является точкой максимума.
2) С осью кривая не пересекается; ось является асимптотой, так как
.
3) Кривая симметрична относительно оси , так как функция чётная.
При кривые получаются путём сдвига на единиц по горизонтали кривой при тех же значениях параметра . Если увеличивается, то кривая сжимается вдоль оси , с уменьшением график функции вытягивается. Таким образом, параметр характеризует положение, а параметр - форму нормальной кривой.
Для нормально распределённой случайной величины функция распределения равна
.
можно представить через функцию , значения которой затабулированы:
- функция распределения для нормального закона.
Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале , которая состоит из двух частей: I часть соответствует площади под кривой на интервале ,равной половине всей площади под нормальной кривой; II часть соответствует площади под кривой на интервале , равной (рис. 5.3).