Свойства функции распределения двумерной СВ

1) Функция распределения удовлетворяет двойному неравенству 0£ F (x, y)£1.

2) F (x, y) – неубывающая функция по каждому из своих аргументов: F (x ₂, y) ≥ F (x ₁, y) для x ₂> x ₁, и F (x, y ₂) ≥ F (x, y ₁) для y ₂> y _1.

3) Справедливы предельные соотношения: F (x, -∞)=0, F (-∞, y)=0, F (-∞, -∞)=0, F (∞, ∞)=1.

4) F (x, ∞)= F_X (x), F (+∞, y) = F_Y (y).

5) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

x ₁£ X < x ₂, y ₁£ Y < y ₂ равна P (a £ X<b, c £ Y<d) = [ F (b, d)- F (a, d)]-[ F (b, c)- F (a, c)].

Если существует такая функция f (x, y), что при " x Î R, " y Î R имеет место равенство

,

то эта функция есть плотность распределения случайного вектора (X, Y), а сам вектор(X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина или непрерывная НСВ.

Свойства плотности распределения вероятности:

1) f (x, y)≥0;

2) ;

3) ;

4) и .

С геометрической точки зрения плотность вероятности f (x, y) двумерной НСВ – поверхность распределения:

z

x

y

Вероятность попадания двумерной НСВ (X, Y) в D:

.

Если D есть прямоугольник R, ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, то: .

Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) есть конечное или счетное множество всех возможных значений случайного вектора (X, Y)=(x_i, y_j) с указанием соответствующих вероятностей:

,

где i= 1, 2,..., n; j= 1, 2,..., m; а n и m – число возможных значений случайных величин соответственно X и Y. Причем.

Распределение вероятностей координат вектора – суммирование вероятности { p_ij } по соответствующему индексу:

, .