Лекция 8 Компактные операторы
8.1. Определение компактного оператора. Свойства компактных
операторов
8.2. Компактность интегральных операторов
8.3. Уравнения с компактными операторами. Фредгольмовы операторы
Как уже было отмечено, операторы в конечномерном пространстве обладают рядом свойств, которые не переносятся на произвольные ограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Например, утверждение, что если Ker A = {0}, то Im A = X, справедливо для линейного оператора A : X ® X в случае конечномерного пространства X и может быть неверным в бесконечномерном случае. В этом и последующих разделах будет изучен класс операторов, обладающих некоторыми свойствами операторов в конечномерных пространствах. Особый интерес к этому классу операторов связан также с тем, что в него входят многие интегральные операторы.
Определение 8.1. Пусть X и Y – банаховы пространства. Линейный оператор A : X ® Y называется компактным, или вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество в X переводит в множество, предкомпактное в Y.
|
|
Напомним, что оператор A является ограниченным (непрерывным), если он ограниченное множество переводит в ограниченное. Выделение класса компактных операторов основано на том, что ограниченные множества могут не быть предкомпактными.
1°. Если пространства X и Y конечномерны, то любой линейный оператор ограничен, значит, он переводит ограниченное множество в ограниченное; в конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно. Таким образом, в конечномерных пространствах все линейные операторы компактны.
2°. Пусть X и Y – произвольные нормированные пространства.
Определение 8.2. Линейный ограниченный оператор A : X ® Y называется оператором конечного ранга, если его образ Im A является конечномерным пространством.
Покажем, что операторы конечного ранга являются компактными. Пусть M Ì X – ограниченное множество, тогда множество A (M) Ì Y ограничено и в силу конечномерности Im A множество A (M) предкомпактно. В частности, если Y конечномерно, то любой ограниченный линейный оператор компактен.
3°. Примером оператора конечного ранга является интегральный оператор с вырожденным ядром.
В пространстве C [0, 1] рассмотрим интегральный оператор с вырожденным ядром, т. е. оператор вида
,
где , ak (t), bk (t) – непрерывные функции. Тогда
,
т. е. образ Im A принадлежит конечномерному пространству , порожденному функциями ak (t). Как интегральный оператор, A является ограниченным, следовательно, он компактен.
4°. Для нулевого оператора образом является одна точка, значит, он компактен.
5°. Тождественный оператор I в конечномерных пространствах является компактным (см. пример 1°). Если пространство X бесконечномерно, то единичный шар в нем, согласно теореме Рисса (теорема 16.3 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), не предкомпактен.
|
|
Оператор I переводит шар в себя, т. е. ограниченное множество в множество, не являющееся предкомпактным, значит, I не является компактным оператором.
6°. Оператор вложения J : C 1 [0, 1] ® C [0, 1] действует по формуле J x = x. Покажем, что J – компактный оператор. Пусть M – ограниченное множество в C 1 [0, 1], т. е. || x ||1 £ C. Покажем, что множество M предкомпактно в C [0, 1]. Согласно теореме Арцела – Асколи (теорема 13.5 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), нужно проверить, что множество M равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Для x Î M из условия || x ||1 £ C получаем
, (1)
, (2)
Неравенство (1) означает равномерную ограниченность множества M. Из неравенства (2) и оценки
| x (t 1) – x (t 2) | £ | x' (x) | | t 1 – t 2 | £ C | t 1 – t 2 |
получаем, что при d < e / C для любых x Î M и любых | t 1 – t 2 | < d имеем | x (t 1) –
– x (t 2) | < e, что означает равностепенную непрерывность множества M в C [0, 1]. Таким образом, множество M предкомпактно в C [0, 1] и оператор J компактен.
7°. Оператор умножения на функцию a (t) в пространстве C [0, 1] и Lp [0, 1] не компактен, если a (t) ° 0.
Рассмотрим сначала случай пространства Lp [0, 1]. Пусть | x (t) | > 0 на множестве T 0 Ì [0, 1], где m (T 0) > 0. Тогда на бесконечномерном подпространстве Lp (T 0) Ì Lp [0, 1], состоящем из функций, равных нулю вне множества T 0, оператор A имеет ограниченный обратный. Как будет показано ниже, это невозможно, если A компактен.
Теперь рассмотрим случай пространства C [0, 1]. Пусть a (t 0) ¹ 0 и a (t) Î C [0, 1]. Ограниченная последовательность sin n (t – t 0) при умножении на a (t) переходит в последовательность a (t) sin n (t – t 0), которая не является равностепенно непрерывной и, значит, не является предкомпактной.
Рассмотрим основные свойства компактных операторов.
Множество компактных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y, обозначим K (X, Y).
1. Если A и B – компактные операторы, то оператор A + B компактен.
Доказательство. Пусть M – ограниченное множество. В образе (A + B) (M) возьмем последовательность yn = (A + B) (xn). В силу компактности оператора A из последовательности A xn можно выделить сходящуюся подпоследовательность , а в силу компактности B – из подпоследовательности сходящуюся подпоследовательность . Подпоследовательность сходится, значит, множество (A + B) (M) предкомпактно и оператор A + B компактен. Свойство доказано.
2. Пусть X, X 1, Y, Y 1 – банаховы пространства. Если A Î K (X, Y), B Î L (Y, Y 1) и C Î L (X 1, X), то операторы B A и A C компактны.
Доказательство. Действительно, если M – ограниченное множество в X, то A (M) предкомпактно и так как равномерно непрерывное отображение переводит предкомпактное множество в предкомпактное (см. замечание 13.1 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), то B (A (M) ) предкомпактно в Y 1.
Если M – ограниченное множество в X 1, то C (M) – ограниченное множества в X и, поскольку оператор A компактен, A (C (M)) есть предкомпактное множество.
В частности, оператор умножения на число l ограничен и, значит, l A – компактный оператор.
3. Если последовательность An Î K (X, Y) компактных операторов сходится по норме к оператору A Î L (X, Y), то A – компактный оператор.
Доказательство. Пусть M – ограниченное множество в X и || x || £ C для x Î M. Для доказательства предкомпактности множества A (M) воспользуемся теоремой Хаусдорфа (теорема 13.1 курса «Функциональный анализ. Часть 1») и для любого e > 0 построим конечную e -сеть для множества A (M). Сначала выберем номер n 0 так, чтобы . Множество предкомпактно. Пусть S = (s 1, ¼, sm) – конечная (e / 2)-сеть для . Покажем, что S является e -сетью для A (M). Пусть y Î A (M), т. е. y = A x, x Î M. Существует si такое, что . Тогда
|
|
,
что и требовалось доказать.
4. Оператор, сопряженный к компактному, является компактным.
Доказательство. Если A Î K (X, Y), то L (Y', X'). Пусть M – ограниченное множество в Y' и || f || £ c для f Î M. Тогда для g = A' f имеем
, (3)
где S – единичный шар в X, . Множестю A (S) предкомпактно, a компактно в Y. Функционалу g поставим в соответствие сужение функционала f на множество T, т. е. элемент пространства C (T) непрерывных функций. Формула (3) показывает, что это соответствие изометрично. Поэтому достаточно доказать предкомпактность в C (T) множества M функционалов f, для чего проверим выполнение условий теоремы 13.5 курса «Функциональный анализ. Часть 1». Действительно, для y Î T | f (y) | £ || f || || y || £ c || A || || x || £ c || A ||, т. е. M равномерно ограничено.
Если при e > 0 выберем d = e / c, то из неравенства || y 1 – y 2 || < d следует, что | f (y 1) – f (y 2) | £ || f || || y 1 – y 2 || £ c × e / c, т. е. множество M равностепенно непрерывно в C (T). Свойство доказано.
Из свойств 1 – 3 следует, что множество K (X, Y) компактных операторов является замкнутым линейным подпространством в пространстве L (X, Y) линейных ограниченных операторов.
Из 2° и свойства 3 следует, что предел последовательности операторов конечного ранга является компактным оператором. Для гильбертовых пространств (и банаховых со счетным базисом) верно и обратное: любой компактный оператор является пределом сходящейся по норме последовательности операторов конечного ранга An = Pn A Pn, где Pn – проектор на первые n базисных векторов.
Существуют сепарабельные банаховы пространства, в которых есть компактные операторы, не являющиеся пределами последовательностей операторов конечного ранга. Впервые пример такого пространства был построен П. Энфло в 1972 году и тем самым было получено решение известной проблемы С. Банаха.