Спектральное разложение самосопряженного компактного оператора

Ненулевое собственное значение l компактного самосопряженного оператора имеет конечную кратность, т. е. число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению l, конечно (см. раздел 8.3).

Лемма 9.1. Пусть A : H ® H – компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Для любого e >0 число собственных значений, удовлетворяющих условию | l |³ e, конечно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть e ₁, e ₂, ¼, e_n, ¼ – бесконечная ортонормированыая последовательность, состоящая из собственных векторов с собственными значениями l_k, где | l_k |³ e >0. Тогда множество A e_k = l_k e_k как образ ограниченного множества должно быть предкомпактным. Ho || A e_k – A e_n ||=|| l_k e_k – l_n e_n ||=. Это означает, что из последовательности A e_k нельзя выделить подпоследовательность Коши. Лемма доказана.

Следствие 9.1. Собственные значения l ¹0 самосопряженного компактного оператора с учетом кратности могут быть занумерованы в последовательность l ₁, l ₂, ¼, l_n, ¼ так, что | l_k |³| l_k ₊ ₁| и l_k ®0 при k ®¥.

Докажем теорему Гильберта о приведении к диагональному виду самосопряженного компактного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 9.3 (Д. Гильберт). Пусть A – самосопряженный компактный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда в H существует полная ортонормированная система, состоящая из собственных векторов оператора A.

Доказательство. Для каждого ненулевого собственного значения l в пространстве Ker(A – l I) выберем ортогональный базис. Пусть L – подпространство в H, порожденное объединением всех выбранных базисов. Тогда L инвариантно относительно A и, значит, L ^{^} также инвариантно относительно A. Сужение оператора A на L ^{^} является самосопряженным компактным оператором. Покажем, что B = A | _L =0, т. е. что это нулевой оператор. Согласно теореме 9.2, существует спектральное значение m оператора B такое, что | m |=|| B ||. Предположим, что || B ||¹0, т. е. m ¹0. Тогда по теореме 8.7 оператор B – m I фредгольмов и ind( B – m I )=0. Если Ker( B – m I )={0}, то Im( B – m I )= L ^{^} и, значит, B – m I имеет ограниченный обратный оператор. Следовательно, m, не является спектральным значением. Значит, Ker( B – m I )¹{0}, т. е. m есть собственное значение оператора A с собственным вектором v Î L ^{^}. Но по построению все собственные векторы с ненулевыми собственными значениями принадлежат L. Получаем противоречие. Значит, || B ||=0 и все векторы из L ^{^} являются собственными векторами оператора A с собственным значением l =0. Выберем в L ^{^} базис и, объединяя его с построенным ранее базисом в L, получаем базис в пространстве H, состоящий из собственных векторов оператора A. Теорема доказана.

Замечание 9.1. Сепарабельность пространства H использована только для построения счетного базиса в L ^{^}. Поэтому для произвольных гильбертовых пространств аналогичная теорема формулируется следующим образом.

Теорема 9.4. Если A – самосопряженный компактный оператор в гильбертовом пространстве H, то существует инвариантное подпространство L Ì H такое, что в L есть счетный базис, состоящий из собственных векторов оператора A с ненулевыми собственными значениями, а на ортогональном дополнении L ^{^} оператор A нулевой.

Замечание 9.2. Если для оператора A в гильбертовом пространстве H существует полная ортонормированная система { e_k } такая, что A e_k = l_k e_k, причем l_k вещественны и l_k ® 0 при k ® ¥, то A – самосопряженный компактный оператор. Действительно, обозначая через A_n оператор, действующий по формуле

получаем, что A_n – оператор конечного ранга и, следовательно, компактен. Так как , то A компактен.

Замечание 9.3. Если оператор A действует в гильбертовом пространстве l ₂, то он может быть задан бесконечной матрицей (a_i _j), его квадратичная форма имеет вид , т. е. является квадратичной формой бесконечного числа переменных x_k. Если перейти к базису e_k, состоящему из собственных векторов оператора A с собственными значениями l_k, то квадратичная форма примет вид , где c_k =(x, e_k) – новые координаты вектора x. Таким образом, из теоремы Гильберта получаем, что квадратичная форма компактного самосопряженного оператора приводится к сумме квадратов.

Простейшими операторами в гильбертовом пространстве являются проекторы P ²= P, P ^*= P. Обозначим через P_k оператор проектирования на подпространство, порожденное собственным вектором e_k, соответствующим собственному значению l_k, P_k x =(x, e_k) e_k.

Проекторы P ₁ и P ₂ называются ортогональными друг к другу, если P ₁ P ₂= P ₂ P ₁=0, т. е. если ортогональны подпространства, на которые они проектируют. Тогда теорему Гильберта можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 9.5. Если A – самосопряженный компактный оператор, то существует последовательность попарно ортогональных проекторов P_k такая, что , причем l_k ® 0 и ряд сходится по норме.

Пусть { e_k } – базис в пространстве H, состоящий из собственных векторов оператора A с собственными значениями l_k. Если – разложение x Î H в ряд Фурье по этой сисгеме, то действие оператора A задается простой формулой

которая позволяет определить функции от оператора

Оператор f (A) определен для функций, заданных и ограниченных на множестве собственных значений { l_k }. В частности, если l – регулярное значение для оператора A, то определена резольвента оператора

. (4)