Производная обратной функции

Следствия

Многомерный случай

Пример

Замечание

Одномерный случай

Дифференцирование сложной функции

Правила дифференцирования общих функций

Производные гиперболических функций

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

·

Вывод

·

·

·

·

Вывод

log_a (x + h) = log_ax + (log_ax)' h + o (h)

log_a (x + h) − log_ax = (log_ax)' h + o (h)

·

·

Вывод

sin(x + h) = sin x + (sin x)' h + o (h)

sin(x + h) − sin x = (sin x)' h + o (h)

(cos x) h + o (h) = (sin x)' h + o (h)

cos x = sin ' x

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

(частный случай формулы Лейбница)

— Правило дифференцирования сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x ₀, а функция g имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x ₀.

Содержание · 1 Одномерный случай o 1.1 Замечание o 1.2 Инвариантность формы первого дифференциала o 1.3 Пример · 2 Многомерный случай o 2.1 Следствия

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y ₀ = f (x ₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y (x), где x = x (t), принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g (y) в точке y ₀ имеет вид:

где dy — дифференциал тождественного отображения:

Пусть теперь Тогда, и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Пусть даны функции где y ₀ = f (x ₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh (x ₀) = dg (y ₀) * df (x ₀).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

· Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

·

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале. Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция, где - функция обратная данной.

Содержание · 1 Теорема (о дифференцировании обратной функции) · 2 Примеры

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Доказательство

Пусть - дифференцируемая функция,.
Пусть - приращение независимой переменной y и Δ x - соответствующее приращение обратной функции.
Напишем тождество

Переходя в этом равенстве к пределу при, которое влечет за собой стремление к нулю (), получим:

, где x ' _y - производная обратной функции.

Замечание
Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид