Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Приращение dT кинетической энергии материальной точки при элементарном перемещении равно работе (, совершенной при этом перемещении силой , действующей на точку:
или
поскольку .
Из основного уравнения релятивистской динамики (5.6) следует, что
.
Поэтому
.
Так как и , то
.
С другой стороны, как видно из формулы (5.4),
.
Таким образом, при изменении скорости материальной точки изменение ее кинетической энергии и массы пропорциональны друг другу:
(5.7)
Интегрирование полученного соотношения дает
При v = 0, m = m 0 и Т = 0. Отсюда для константы получается значение, равное – m 0 c 2. Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид
(5.8)
В случае малых скоростей (v<< c) формулу (5.8) можно преобразовать следующим образом:
Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньше скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.
Перепишем формулу (5.8) в следующем виде:
Анализируя это соотношение, Эйнштейн предположил, что полная энергия тела должна складываться из энергии его движения (кинетической) и энергии покоящегося тела (внутренней). Поэтому он отождествил второе слагаемое в этой формуле с внутренней энергией тела и назвал ее энергией покоя Е 0, а сумму (Т + m 0 c 2) – полной энергией тела Е:
Е 0 = m 0 c 2; Е = mc 2. (5.9)
Нужно отметить, что энергия покоя и полная энергия не включают в себя потенциальной энергии тела во внешних полях.
Из выражений для импульса (5.5) и энергии (5.9) можно получить полезные формулы связи между ними:
;
В классической физике
Лекция 6