Нормальных напряжений при чистом изгибе балки
Лекция 8
Рассмотрим консольную балку* произвольного поперечного сечения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плоскости моментом (рис. 7.8,а). При такой нагрузке = 0, а = .
При прямом чистом изгибе балки справедливы:
1. Гипотеза плоских сеченийБернулли– сечения плоские и нормальные к оси балки до деформации остаются плоскими и нормальными к ее оси и после деформации.
2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.
Рис. 8.1.
Т.к. поперечные силы= 0, то можно предположить, что не возникают в плоскости поперечных сечений и касательные напряжения.
Двумя поперечными сечениями и + вырежем из балки элемент длиной (рис.8.1,б). На его торцах возникнут изгибающие моменты , которые вызовут деформацию изгиба (рис. 8.1,в): продольная ось (волокно ) изогнется и получит радиус кривизны , длина же слоя не изменится, т.е. . Поперечные сечения при этом взаимно повернутся на угол . Волокно , расположенное на расстоянии от продольной оси (от слоя ), удлинится и займет положение .
|
|
Относительное удлинение волокна :
.
Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам испытывает одноосное напряженное состояние, то, применив закон Гука, получим:
.
Таким образом, нормальные напряжения распределяются по линейному закону. Определим их из условия равновесия элемента балки. При равновесии должны соблюдаться шесть уравнений равновесия:
1. Т.к. внутренние силы перпендикулярны осям и , то ; .
2. или .
Получим
,
но ; (ось балки изогнута). Следовательно, [м3].
Статический момент площади равен нулю относительно центральной оси. Следовательно, нейтральная ось при изгибе совпадает с центральной осью поперечного сечения.
3. Уравнение обращается в тождество, т.к. внутренние силы параллельны оси.
4. Уравнение дает .
Получим
.
Рис. 8.2 Рис. 8.3
Т.к. , то тогда центробежный момент инерции . Тогда и - главные оси сечения, а момент должен лежать в главной плоскости, что и выполняется. Отсюда следует: силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны.
5. Приравниваем нулю сумму моментов сил относительно оси :
; ; Получим:
или ,
где – кривизна нейтрального слоя балки; – жесткость поперечного сечения балки на изгиб относительно оси . Уравнение называютосновным уравнением изгиба.
Получим искомую формулу:
,
где: – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором определяют [Н×м]; – осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтрального слоя [м4]; –расстояние от нейтрального слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].
|
|
Эпюра нормальных напряжениипредставлена на рис. 8.3. Наибольшие напряжения возникают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.