Основные понятия теории множеств. Использование теории множеств для работы с информацией

Лекция № 1

Использование теории множеств для работы с информацией

Вопросы:

Основные понятия теории множеств.

Способы задания множеств.

Подмножество. Основные числовые множества.

Операции над множествами.

Разбиение множества на классы.

Декартово произведение множеств.

Понятие "множество" является первичным и неопределяемым. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством.

Объекты любой природы (числа, люди, вещи и т. д.), составляющие множество, называют его элементами. Например, студент Иванов является элементом множества студентов IV курса, март – элементом множества месяцев в году и т.д.

Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

- должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности;

- должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Опр.1.1 Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.).

Множеством A называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества.

а Î A

Опр.1.2 Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква M – элемент множества букв русского алфавита).

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Замечание. Вообще говоря, понятие множества считается первичным (исходным) понятием, и, как таковое, не определяется. Приведённое выше определение следует, скорее, считать описанием понятия множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Æ.

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; N={1,2,3,4,5,6, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись аÎА означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: SÎ{S, , D, л}.

Запись 6Ï{1,2,3,4} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:

1) перечисление всех его элементов: А={а₁, а₂, а₃, …, а_n};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:

3) A={хÎN ½хM2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Пример 1. Некоторые примеры множеств, заданных различными способами.

а) .

б) .

в) .

Мощностью конечного множества A называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Опр.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.

Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через n (А). Например, если А={а, b, c}, то n (А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то n (N) = ∞.