Найдем распределение тока в проводнике. Воспользуемся уравнениями Максвелла:
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Запишем также уравнение закона Ома
(22)
где постоянная - удельная проводимость проводника. Плотность тока в уравнениях Максвелла может быть выражена с помощью этого уравнения через напряженность поля.
Совместное решение уравнений (19) и (17) позволит получить новое уравнение, содержащее только ; оно даст нам сведения об интересующей нас величине. Перепишем уравнение (19), исключив вектор плотности тока с помощью закона Ома:
(23)
Возьмём теперь дивергенцию обеих частей уравнения (23) и учтём, что дивергенция ротора тождественно равна нулю, получим:
Дивергенция , согласно первому уравнению Максвелла, равна плотности заряда . Поэтому получим:
(24)
Решение уравнения (24)
(25)
показывает, что плотность всякого заряда, который может появиться в проводнике, подчиняющемся закону Ома, должна уменьшаться экспоненциально, для хороших проводников — с очень большой скоростью. Любой заряд, помещённый внутри проводника, сразу же вышел бы на его поверхность; в соответствии с этим в уравнении Максвелла для стационарных состояний член, содержащий плотность заряда в проводнике, будет равен нулю, если только не придумаем средства непрерывно возобновлять внутри проводника свободные заряды. Таким образом, в проводниках
|
|
(26)
Если все величины пропорциональны , уравнение (21) запишется в виде:
(27)
Токи смещения в любом относительно хорошем проводнике малы даже при наиболее высоких радиочастотах. Взяв синусоидальное колебание , сравним два члена уравнения (27) — и .
Рассмотрим случай когда .
При радиочастотах, для всех проводников, кроме очень плохих, таких, например, как земля, токи смещения пренебрежимо малы по сравнению с токами проводимости. Остаётся
(28)
Возьмём ротор от обеих частей и развернём выражение для левой части:
(29)
Подставив величины и из уравнений Максвелла (18) и (20), получим:
(30)
Подобное уравнение может быть получено так же и для , если вместо (19) взять ротор обеих частей уравнения (20) и развернуть его, как было сделано выше:
(31)
Так как , то же уравнение может быть написано и для плотности тока
(32)
Если все величины изменяются синусоидально со временем, как ,уравнение (32) запишется в виде
При очень высоких частотах подавляющая часть тока сосредоточена в тонком слое у поверхности проводника. Но в таком случае кривизна самой поверхности несущественна, и становится возможным достаточно точно подсчитать распределение плотности тока, рассматривая малый элемент поверхности и пренебрегая его кривизной, т.е. принимая его за плоский проводник бесконечной толщины.
|
|
Примем для проводящего полупространства направление тока за ось z, а нормаль к поверхности за ось х и будем считать, что распределение остаётся неизменным вдоль осей y и z. Уравнение распределения плотности тока в этом случае будет:
(34)
где или .
(33)
Полное решение этого уравнения имеет вид:
(35)
Постоянная должна равняться нулю, иначе при ток будет бесконечно велик, что невозможно. можно определить из граничного условия при . Получаем:
(36)
Введём новый параметр, который назовём глубиной проникновения:
(37)
Если воспользоваться этим параметром, равенство перепишется в виде:
(38)
Из этой формулы следует, что величина плотности тока уменьшается экспоненциально с увеличением глубины, а представляет значение глубины, на которой плотность тока падает до величины , т.е. примерно до 36,9% своего значения на поверхности. Фаза тока также меняется с увеличением глубины соответственно множителю .
Для нахождения глубины проникновения монохроматической плоской волны в общем случае (с учётом двух слагаемых уравнения (27)) перепишем уравнение
(39)
в виде:
(40)
Здесь
(41)
Глубина проникновения находится в виде
(42)
Уравнение (42) можно использовать при любых соотношениях между и