Уравнение Слуцкого

8 9 10 11 12 13 14

Задача 2.

Задача 1.

Пусть целевая функция потребителя (ЦФП) зависит от двух благ, х₁ и х₂ следующим образом:

U (x₁, x₂) = x₁* x₂→ max,

Пусть цены благ равны, соответственно p ₁ = 10, p₂ = 2, а доход потребителя I = 60, тогда согласно

U = 45.

Пусть Р ₂ меняется с 2 до 7, каков необходимый размер компенсации?

Чтобы приобрести прежний оптимальный набор, потребителю необходимо дополнительно (7 – 2) × 15 = 75 денежных единиц. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75.

Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М.

Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе блага будет равен:

Целевая функция M ≈ 52,25 < 75.

Решим задачу 1 в общем виде.

Пусть U (x₁,x₂) = x₁ * x₂ → max

Пусть p₁ выросла в z раз (z > 1), и при этом потребитель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обозначим через Ī, спрос .

Очевидно,

и условие компенсации

откуда

Спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в раз, а не в z раз, как без нее.

Спрос на второй товар в раз вырастет.

В случае роста цены второго товара ситуация будет полностью симметричной.

Таким образом,

при i = 1, j = 2 или i =2, j = 1.

Индекс comp – означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода.

Условия компенсации снимает «эффект дохода», оставляя лишь «эффект замены», что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценить их характеристики.

Блага i и j называются взаимозаменяемыми если

Эти два условия равносильны и взаимозаменяемые, если

Рассчитаем эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда p₁ растет в z раз.

Приращение Δx₂ =∆p₁=zp₁-p₂,

при z→1,

при z→1.

Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого.

Это уравнение позволяет увязать действие эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

Поясним:

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе слагаемое – действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения, т.к. множитель x_j приводит их к одной размерности.

Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

В этом случае, согласно уравнения Слуцкого,