Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
Доказательство
Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства
, состоящий из собственных векторов симметрической матрицы
, и пусть
,
. Тогда
– канонический базис квадратичной формы
, а выражение
– ее канонический вид в базисе
. Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.
Второе предложение доказывается аналогично.
Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы
равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор
, что
Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения: