Т е м а. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Преобразование уравнений. Уравнения характеристик и общие интегралы. Канонический вид гиперболических, параболических и эллиптических уравнений
Л е к ц и и 3 - 4.
Общий вид уравнений с частными производными второго порядка можно записать в виде соотношений между независимыми переменными, искомой функцией и ее частными производными первого и второго порядков:
.
Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных – производных второго порядка, то есть, имеют вид:
где коэффициенты при старших производных являются функциями только независимых переменных . Если коэффициенты зависят не только от , а являются, подобно F, функциями , то такое уравнение называется квазилинейным. Если функция линейна относительно аргументов , то уравнение называется линейным. Линейные уравнения имеют вид:
, (1)
где коэффициенты , c являются функциями только независимых переменных . Если , то уравнение (1) называется линейным однородным, в противном случае - неоднородным. Если коэффициенты , c постоянны, уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
|
|
Все многообразие уравнений линейных относительно старших производных может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств.
Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. Мы проведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция u зависит лишь от двух переменных: u = u (x, y). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде:
, (2)
где являются функциями x и y. А линейные уравнения – в виде:
, (3)
где , - функции только от x и y. Любое такое уравнение (2) и (3) с помощью замены независимых переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду.
При помощи замены переменных
, , (4)
где , - дифференцируемые функции, преобразуем исходные уравнения к наиболее простому виду. Вычислим частные производные
, ,
, (5)
,
.
Подставляя значения производных из (5) в уравнение (2), будем иметь
, (5а)
где
,
, (6)
.
Заметим, что если уравнение линейно, то
,
где
,
.
Непосредственной проверкой устанавливаем справедливость тождества
. (7)
Обозначим через - дискриминант исходного уравнения в частных производных второго порядка. Из этого тождества следует, что знаки дискриминанта исходного и преобразованного уравнения одинаковые.
|
|
Теперь мы можем принять следующую классификацию уравнений вида (2).
Если в некоторой области D дискриминант положителен, , то уравнение (2) называется гиперболическим в D (гиперболического типа в D).
Если во всех точках области D, то уравнение (2) называется параболическим в D (параболического типа в D).
Если в области D, то уравнение (2) называется эллиптическим в D (эллиптического типа в D).
Из тождества (7) следует, что при замене независимых переменных по формулам (4) тип уравнения (2) не изменяется.
Приведем уравнение (2) к каноническому виду. Для каждого типа уравнения существует своя каноническая форма.
Рассмотрим теперь задачу преобразования исходного уравнения в частных производных к более простому виду, например, преобразуем так, чтобы в преобразованном уравнении коэффициенты в области оказались равными нулю, то есть
=0
=0.
Представим эти уравнения в виде:
,
.
Разрешив их относительно и , получим:
и , (8)
где . Квадратные уравнения имеют одинаковые коэффициенты, следовательно, будут иметь одинаковые корни. Обозначим эти корни как
и .
В этих выражениях предполагается, что . Если это условие не выполнено, то уравнения будут линейными, и будут иметь простые решения. Решения квадратных уравнений можно записать в виде
, . (9)
Докажем, что система уравнений в частных производных (10) эквивалентна системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
и . (10)
В самом деле, пусть функции и есть общие интегралы уравнений (10), то есть, постоянны вдоль решения этой системы.
Тогда полное приращение этих функций вдоль решения будет равен нулю:
, .
Откуда получим
, .
В силу равенств (10) получим
, .
Преобразуя эти равенства, получим , . То есть, все решения системы (10) являются также решениями системы (9). Можно доказать, что верно и обратное утверждение. Следовательно, системы (9) и (10) эквивалентны.
Общие интегралы уравнений (10) и образуют два семейства кривых, называемых характеристиками уравнения (3). Уравнения (10) называются дифференциальными уравнениями характеристик.