Пусть заданно колебание
(9.22)
о котором известно, что передаточное сообщение заложено в функцию .
Если колебание получено с помощью ФМ, то и S(t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций и S(t).
При ЧМ функция является интегралом от передаваемого сообщения S(t). Это вытекает из (9.16) и (9.17). так как интегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции состоит из тех же компонентом, что и спектр сообщения S(t), но с измененными амплитудами и фазами.
, (9.16)
. (9.17)
Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции (фазовой или частотной) и считая заданным спектр функции , найдем спектр модулированного колебания a(t):
. (9.23)
Таким образом, модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний:
косинусного и
синусного .
При гармонической уг8ловой модуляции , тогда
. (9.24)
Из теоремы Бесселелевых функций известны следующие соотношения:
,
где - Бесселева функция первого рода n -го порядка от аргумента m.
После подстановки и преобразований получим для a(t):
. (9.25)
То есть, при синусоидальных ЧМ и ФМ имеем безграничный спектр, который состоит из спектральной линии «несущей» и двух боковых полос .
Амплитуда несущей - , при значениях m=2.3;5.4 пренебрежимо мала, а амплитуды боковых частот зависит от значения аргумента m Бесселовой функции.
При n>m – составляющие спектра малы и ими можно пренебречь.
Практически ширина спектра при угловой модуляции равна:
, (9.26)
где - частота модулирующего колебания.
Количество значимых спектральных линий в спектре a(t) можно определить по формуле:
, (9.27)
m – индекс угловой модуляции: .
При m>>1 ширину спектра можно определить по формуле:
. (9.28)
При ЧМ девиация пропорциональна амплитуде модулирующего сигнала S(t) и не зависит от , а при ФМ, ее индекс пропорционален амплитуде s(t), независимо от его частоты, поэтому девиация частоты при ФМ линейно увеличивается с ростом . При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту генератора несущей, а при ФМ – генератор имеет стабильную частоту , а фаза колебания модулируется в одном из последующих каскадов передатчика.
Дискретная модуляция – часто называется манипуляцией.