Пусть требуется найти функцию u, удовлетворяющую уравнению и граничному условию , где P – точки поверхности S.
Для всякой функции u, непрерывной вместе с первыми производными в замкнутой области T, ограниченной достаточно гладкой поверхностью S и имеющей вторые производные внутри T, имеет место интегральное представление:
. (1)
Если функция u (M) гармоническая, то объемный интеграл равен нулю, если же u (M) удовлетворяет уравнению Пуассона, то объемный интеграл является известной функцией.
Пусть v (M) – некоторая гармоническая функция, непрерывная в вместе с первыми производными, не имеющая нигде особенностей. Вторая формула Грина
дает:
. (2)
Складывая (1) и (2), получаем
, (3)
где
- функция двух точек: и . Точка фиксирована, поэтому x, y, z играют роль параметров.
Формула (3) содержит и . Между тем, при решении первой краевой задачи задается лишь , а при решении второй краевой задачи – значение . Функция v выбирается таким образом, чтобы для первой краевой задачи (для второй краевой задачи). Определим функцию при помощи условий:
|
|
1. как функция точки при фиксированной точке удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках P области T, кроме точки P = M.
2. при совпадении аргументов (P = M) обращается в бесконечность.
3. на границе S обращается в нуль, то есть, = 0, если . Этому условию можно удовлетворить, потребовав, чтобы
.
Функцию определенную таким образом, будем называть функцией точечного источника(функцией Грина) первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Формула (3) дает:
,
Это и есть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с помощью функции Грина.
Подведем итог: Функция G определяется при помощи функции v, являющейся решением первой краевой задачи для уравнения с граничными условиями .
Функция Грина (источника) для случая двух измерений, очевидно, будет определяться условиями:
1. всюду в рассматриваемой области S, кроме точки .
2. В точке функция G имеет особенность вида
.
3. , где C – граница области S. Функция Грина (источника) в этом случае имеет вид
,
где v – всюду непрерывная гармоническая функция, удовлетворяющая на границе условию
.
Решение первой краевой задачи для , при этом, дается формулой
.
Функция Грина для сферы (шара)
Пусть дана сфера радиуса R с центром в точке O и - заданные предельные значения гармонической функции на поверхности сферы, причем - переменная точка этой поверхности. Мы предполагаем, что - непрерывная на поверхности сферы функция.
Рассмотрим определенную точку внутри сферы и обозначим через r расстояние от до (рис. 10.).
Наряду с точкой рассмотрим точку лежащую на продолжении радиуса сферы и такую, что
|
|
или (1)
Точка , лежащая вне сферы, называется сопряженной с точкой .
M1
r1
r1
M0
r r
O M’ (n)
R
Рис. 10
Обозначим через расстояние от точки M до . Если M находится на поверхности сферы в некоторой точке , то величины r и связаны зависимостью. Треугольники и подобны, так как имеют общий угол при вершине O и стороны образующие эти углы пропорциональны в силу (1)
или
отсюда следует
или , (2)
где - есть длина . Так как , то можно записать
.
Рассмотрим функцию . Эта функция гармоническая всюду кроме точки . В частности она гармоническая внутри шара, и на сфере принимает то же значение, что и функция . Отсюда следует, что функцию Грина можно записать следующим образом:
, (3)
так как это – гармоническая функция, имеющая в особенность и обращающаяся в нуль на сфере.
Найдем нормальную производную от этой функции на поверхности шара
, (4)
где n –внешняя нормаль,
.
Для того чтобы определить воспользуемся теоремой косинусов:
и , (5)
. (6)
Учитывая формулы (5) и (6) для нормальной производной функции Грина получим:
.
Таким образом,
, (7)
подставляя это выражение в решение задачи Дирихле, получим
(8)
Это есть решение задачи Дирихле для шара (для сферы).
Введем сферическую систему координат с началом в центре сферы. Пусть - координаты точки P, а - координаты точки , g - угол между радиус-векторами и , P – точка на сфере.
Тогда формулу (8) можно переписать в виде
,
где . Эта формула называется интегралом Пуассона для сферы.